¿Pueden dos categorías con los mismos objetos tener flechas de identidad diferentes?

Question

Supongamos que tenemos dos categorías $C,D$ con los mismos objetos. Para cada objeto $X$ en $C$ hay una flecha de identidad $1^C_X\in Hom_C(X,X)$ . Como $C$ y $D$ tienen el mismo objeto, para ese mismo objeto $X$ hay una flecha de identidad $1^D_X\in Hom_D(X,X)$ . ¿Significa esto que $1^C_X=1^D_X$ ?

Mi opinión es que este no es el caso, porque en este prueba de que las flechas de identidad sean únicas, se supone que estamos hablando de una categoría determinada, por lo que las identidades de una categoría no deberían poder interactuar con la otra (si no se impone ninguna estructura adicional), aunque tengan los mismos objetos.

¿Es esto correcto? ¿Dos categorías con objetos iguales comparten la flecha de identidad?

Answer 1

$\mathrm{Hom}_{\mathscr C}(X, X)$ y $\mathrm{Hom}_{\mathscr D}(X, X)$ ni siquiera son necesariamente los mismos conjuntos (y pueden no tener una intersección no vacía). Los conjuntos hom no están restringidos por el conjunto de objetos. Así, las flechas de identidad en $X$ en las dos categorías no es necesario que sean iguales.

Como sugieres, hay precisamente un morfismo de identidad en $X$ en $\mathscr C$ y precisamente un morfismo de identidad en $X$ en $\mathscr D$ pero estos morfismos de identidad son datos que pertenecen a $\mathscr C$ y $\mathscr D$ respectivamente y, a priori no se relacionan entre sí.