La dependencia de los Axiomas de la Relación de Equivalencia?

Question

Esta pregunta es problema 11(a) en el capítulo 1, en "Temas de Álgebra' por el I. N. Herstein.

Estas son las propiedades de la equivalencia de la relación dada en este libro.

• La proposición 1 $a \sim a$
• La proposición 2 $a \sim b$ implica $b \sim a$.
• La proposición 3 $(a \sim b$ $b \sim c)$ implican $a \sim c$.

Declaración de la Propiedad 2 de una relación de equivalencia establece que si $a \sim b$$b \sim a$. Por la propiedad 3, tenemos la transitividad es decir $a \sim b$, e $b \sim c$$a \sim c$. Lo que está mal con la siguiente prueba de que la propiedad 2 y 3 implican la propiedad 1? Deje $a \sim b$; a continuación,$b \sim a$, de donde por la propiedad 3 (uso de $a = c$), $a \sim a$.

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Creo que puedo demostrar que esto sea malo. Sin demostrar la equivalencia de la relación en primer lugar, uno no puede usar $a = c$. A la derecha? Después de todo, la igualdad es equivalente a "relación de equivalencia" y "axioma de sustitución" están satisfechos. Si esto es correcto, entonces tengo problemas con la parte siguiente de este problema.

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Parte 2 Puede sugerir una alternativa de la propiedad 1, que se asegurará de nosotros que la proposición 2 y la proposición 3 qué implica 1?

Se puede dar una formulación sin el uso de la idea de '=' o de otra manera?

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EDIT : las Cursivas son mis comentarios. Resto es tal como aparece en el libro.

Noción de Igualdad

He leído en Terry 'Análisis 1" en el Apéndice A. 7 publicado por ** Hindustan Libro de Agencia ** que hay cuatro axiomas de la 'igualdad'. Los primeros 3 son igual de equivalencia relación donde $\sim $ en reemplazada por $ = $. El cuarto se conoce como axioma de sustitución. Dados cualesquiera dos objetos de $x$ $y$ de algún tipo, si $ x = y $, $f(x) = f(y) $ para todas las funciones, operaciones o $f$.

Answer 1

Parte 1. He aquí un ejemplo de una relación que es simétrica y transitiva, pero no reflexiva.

El conjunto es $X=\{1,2,3\}$. La relación es de $$R = \Bigl\{ (2,2),\ (2,3),\ (3,2),\ (3,3)\Bigr\}.$$ Compruebe que $R$ es simétrica y transitiva. Compruebe que $R$ no es reflexiva. A continuación, tratar de ver por qué la supuesta prueba de falla en este ejemplo. El uso que explicar donde la falacia en la prueba de las mentiras. No no mentira en la toma de $c$ igual a $a$.

Parte 2. Pensar acerca de lo que es la falacia en la prueba se le da; lo extra hipótesis en $\sim$ haría que el argumento correcto? El argumento es falaz porque se supone que algo sucede, cuando usted no tiene una orden para afirmar que va a suceder. Así que intenta venir para arriba con algunas hipótesis de que va a garantizar que esto sucede.

Answer 2

Para la primera parte: La "prueba" se supone que para $a$ no es un porcentaje ($b$tal que $a\sim b$. Por supuesto, esto no es necesariamente dado. El vacío de la relación es decir, para el no $a,b$ tenemos $a\sim b$ es transitiva, simétrica, pero no reflexiva. (En este ejemplo se parece a muchos de los estudiantes no es muy explicativo, aunque es el ejemplo más sencillo de esta situación. Véase el ejemplo de Arturo Magidin si que ayuda.)

Para la segunda parte: creo que el libro podría pedir algo como esto.

La proposición 1': Para cualquier $a$, por lo que no hay ninguna $b$ tal que $a\sim b$, también tenemos $a\sim a$.

Esto podría parecer una extraña propiedad, pero también podemos tomar "basta la Proposición 2 y la Proposición 3", que no va a tener mucho más sentido.

O como Arturo Magidin sugerido

La proposición 1": Para cualquier $a$, hay un $b$ tal que $a\sim b$

junto con la Proposición 2 y la Proposición 3 implica la Proposición 1.

Answer 3

No hay ninguna dificultad en el suministro de un "Prop. $0$" estrictamente más débil que la Prop. $1$ tal que la Prop. $0$ y Accesorios. $2$ $3$ implica la actual Prop. $1$. Solo decir que para cualquier $x$ no es un porcentaje ($y$tal que $x \sim y$. (Por supuesto que $y$ podría ser$x$). A Continuación, La Proposición. $0$, junto con $2$$3$, implica la Proposición. $1$. Por Lo Tanto La Proposición. $0$, $2$, y $3$ dar una alternativa axiomatization. Tal vez esta es la intención de responder. O no.

Answer 4

Los axiomas se supone que valen para todas las opciones de $a, b, c$, y esto incluye el caso en que $c$ pasa a ser igual a $a$. Cuando a la conclusión de que $a \sim b$ $b \sim a$ implica $a \sim a$, sólo el uso de la transitividad y ninguna otra propiedad.

Yo no entiendo lo que quieres decir por "la idea de '='." Es muy difícil hacer cualquier matemáticas sin el uso de la noción de igualdad.

Answer 5

El problema es que la propiedad 1 para cualquier elemento del conjunto. Considere la posibilidad de un conjunto en el que se define una relación de equivalencia de forma tal que un elemento x del conjunto no es equivalente a nada. En particular, usted no será capaz de utilizar 2 y 3. Ahora la propiedad 1 falla puesto que x debe ser equivalente al menos a sí mismo.