¿Todo subgrupo de un grupo de Lie unimodular (matricial) conectado es también unimodular?

Question

Mi intuición es que la respuesta es sí: Dejemos que $G$ sea el grupo original, y que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Dejemos que $\mu$ sea una medida de Haar en $G$ que es invariante a la derecha y a la izquierda. Creo que si restringimos $\mu$ a $H$ y restringir la traducción a las traducciones por elementos de $H$ entonces la invariancia debe ser preservada. Por lo tanto, al agitar la mano, supongo que $\mu$ debe ser invariante a la derecha y a la izquierda en $H$ y no sólo en $G$ . La razón por la que no estoy seguro es la siguiente: El grupo de matrices afines de 2x2 no es unimodular. Sin embargo, es un subgrupo de $GL(2)$ .

Ahora, esto puede estar bien: Tanto el grupo afín como GL(2) no están conectados. Y, aunque $GL(2)_+$ es unimodular, creo que $GL(2)$ no es unimodular. Por lo tanto, el hecho de que el grupo afín 2x2 no sea unimodular no causa ningún problema. ¿Puede alguien verificar que estoy en lo cierto?

Si estoy en lo cierto, esto me lleva a otra pregunta: ¿Es todo grupo matricial conectado unimodular? Creo que, a la espera de una respuesta positiva a mi pregunta original, este debe ser el caso ya que todos son subgrupos de $GL(n)_+$ para algunos $n$ .

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Tomemos el llamado grupo ax+b, es decir, la componente conexa del grupo afín de la recta real. O, aún más concretamente, $$\left\{ \left( \matrix{ a & b \\ 0 & 1 } \right) \colon a>0, b\in{\mathbb R} \right\}.$$ Esto no es unimodular.

Por lo tanto, creo que la "prueba por mano" tiene un error en alguna parte. Probablemente su concepción de la restricción de una medida de un espacio a un subconjunto cerrado puede necesitar un replanteamiento ...

Answer 2

En realidad esta intuición falla terriblemente: El ejemplo 3 de la página 100 de la obra de Nachbin La integral de Haar nos dice que cualquier grupo LCH es topológicamente isomorfo a un subgrupo cerrado de un grupo LCH unimodular.

El argumento se basa en dos observaciones:

• Si $G\cong N\rtimes Q$ Los Haars derechos se multiplican pero los Haars izquierdos se distorsionan por la acción de $Q$ en $N$ .
• $\mathbb{R}\rtimes_{RN} G$ es unimodular, donde $RN$ es el cociclo de Radon-Nikodym.