Sea el operador lineal $T: E \to F$ con $\dim E = \dim F = n$ . ¿Existe una noción de determinante de $T$ y/o el valor propio de $T$ ?
Tenga en cuenta que no tiene sentido que: $Tv=\lambda v$ porque $v \notin F$ .
Gracias
Respuestas
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Consideremos primero dos espacios vectoriales de dimensión $1$ . ¿Podemos identificar un número único para un isomorfismo entre ellos? (Por ejemplo, consideremos dos líneas en el plano). Esto requiere una elección de vectores no nulos en ambos espacios.
Dado un mapa lineal $T\colon V\to W$ para espacios vectoriales de la misma dimensión, se puede hablar del mapa asociado sobre las potencias exteriores $T_r\colon \wedge ^r V\to \wedge ^r W$ . Para $r=\dim V$ esto se convierte en un mapa lineal de bases unidimensionales. Cualquier elección de bases en $V$ y $V$ llevaría a la elección canónica de las bases en estas bases unidimensionales y, por tanto, a un escalar asociado al mapa de los espacios unidimensionales. Este es el mapa determinante asociado a $T$ .
Jeremy Lin
Puntos
3
Creo que se pueden reetiquetar los elementos de $F$ para que el espacio objetivo sea sólo el espacio inicial $E$ . Como dim(E) = dim(F), existe un mapeo isomórfico -una correspondencia uno a uno- entre los elementos de E y los elementos de F.
Sin reetiquetar, entonces no veo cómo esto tiene sentido, en el contexto del álgebra lineal básica.
Además, el teorema espectral, la teoría de los valores propios y los vectores propios siempre (hasta donde yo sé) comienzan dejando que algún operador lineal mapee algún espacio $v$ -> $v$ . Así que, por definición, se está mapeando de un espacio a sí mismo. Aunque entiendo tu pregunta - y yo mismo se la he hecho a mi profesor de álgebra lineal en el pasado. (Su respuesta fue que no siempre tiene que ser de $v$ -> $v$ pero nunca se explayó sobre ningún caso especial, así que no puedo decir mucho más).
