Cálculo del producto tensorial $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb Z} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Question

Considere la $\mathbb{Z}$ módulo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .
¿Qué es? $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb Z} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?

Answer 1

Hay diferentes soluciones; sin embargo, me gusta esta. Considere la siguiente secuencia exacta:

$$\mathbb Z\xrightarrow{f} \mathbb Z\xrightarrow{g}\mathbb Z_n\xrightarrow{}0$$

donde $g(a)=\overline{a}$ y $f(a)=na$ . Por los teoremas del tensor, la secuencia $$\mathbb Z\otimes \mathbb Z_n\xrightarrow{f\otimes id} \mathbb Z\otimes \mathbb Z_n \xrightarrow{g\otimes id}\mathbb Z_n\otimes \mathbb Z_n\xrightarrow{}0\otimes \mathbb Z_n$$ también es exacta. Por lo tanto, $\frac{\mathbb Z\otimes \mathbb Z_n}{\rm{Im( f\otimes id)}}\cong \mathbb Z_n\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z_n$ pero la definición de $f$ implica que $\rm{Im}(f\otimes id)=n(\mathbb Z\otimes\mathbb Z _n)$ . Así, podemos concluir que $\frac{\mathbb Z\otimes \mathbb Z_n}{\rm{Im( f\otimes id)}}\cong \frac{\mathbb Z_n}{n\mathbb Z_n}\cong \mathbb Z_n$ . Con un argumento similar, se puede demostrar que $\mathbb Z_n\otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z_m\cong\mathbb Z_{(m,n)}$