nos complejos en la elipse.

Question

Estaba practicando algunas ques sobre elipses cuando me encontré con esta pregunta:

Si es normal en cuatro puntos $(x_1,y_1)$ ..... en la elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ son concurrentes entonces encuentre el valor de $$(x_1+x_2+x_3+x_4)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)$$

Sé cómo resolver esta cuestión mediante fórmulas de geometría de coordenadas, pero quiero hacerlo con Nos complejos. $z=\cos(\theta)$ y reemplazado $\sin$ y $\cos$ en la ecuación de la normal por $z$ pero no puedo simplificar el segundo paréntesis. ¿Puede alguien ayudarme a mostrar cómo se hace?

Answer 1

Ecuación de la tangente en $(x_k,y_k)$ ,

$$\frac{x_kx}{a^2}+\frac{y_ky}{b^2}=1$$

Ecuación de la normal en $(x_k,y_k)$ ,

$$\frac{y_k}{b^2}(x-x_k)-\frac{x_k}{a^2}(y-y_k)=0$$

Si $(X,Y)$ es el punto común de las cuatro normales, entonces

$$\frac{y_k}{b^2}(X-x_k)-\frac{x_k}{a^2}(Y-y_k)=0$$

Por lo tanto, todos los puntos $(x_k,y_k)$ se encuentran en otra cónica:

$$\frac{y}{b^2}(X-x)-\frac{x}{a^2}(Y-y)=0$$

Reacomodar, $$y=\frac{b^2 Y x}{a^2(x-X)+b^2x}$$

Vuelve a poner la elipse:

\begin{align} 0 &=(a^2+b^2)^2 x^4-2a^2X(a^2+b^2)x^3-a^2[(a^2+b^2)^2-a^2 X^2+b^2 Y^2]x^2 \\ & \qquad +2 a^4X(a^2+b^2)x-a^6 X^2 \end{align}

Por las fórmulas de Vieta,

\begin{align} (x_1+x_2+x_3+x_4) \left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4} \right) &= \frac{\displaystyle \left( \sum x_i \right) \left(\sum x_i x_j x_k \right)}{\displaystyle \prod x_i} \\[5pt] &= \frac{ \left( \dfrac{2a^2X}{a^2+b^2} \right) \left( -\dfrac{2a^4X}{a^2+b^2} \right)} {-\dfrac{a^6 X^2}{(a^2+b^2)^2}} \\[5pt] &= 4 \end{align}

proporcionando $X\ne 0$ .

No será el caso de las cónicas centrales oblicuas. Ver otra respuesta aquí .