Línea que pasa por las diagonales de un trapecio

Question

Dado un trapecio $ABDC$ y el segmento de línea $PQ$ donde $P$ y $Q$ son puntos en $AC$ y $BD$ , respectivamente, s.t. $AB||PQ||CD$ . Supongamos que $PQ$ se cruza con $BC$ en $K$ y $AD$ en $J$ , demuestre que $PK$ y $JQ$ son iguales.

A continuación se muestra un caso extremo en el que $K$ y $J$ están en el punto $O$ . Parte de la razón debe ser que las líneas son paralelas. Además, he comprobado en GeoGebra que son numéricamente iguales, es decir $PK=JQ$ .

Answer 1

Como $\triangle ABC\sim\triangle PKC$ , $AB:PK=BC:KC$ .

Como $\triangle ABD\sim\triangle JQD$ , $AB:JQ=BD:QD$ .

Como $\triangle BCD\sim\triangle BKQ$ , $BC:BK=BD:BQ$ .

Así que, $BC:KC=BC:(BC-BK)=BD:(BD-BQ)=BD:QD$

Por lo tanto, $AB:PK=AB:JQ$ y por lo tanto $PK=JQ$