Derivada de la matriz en función de un vector con respecto a un vector

Question

Quiero calcular la derivada de la matriz $ diag(x)M $ con respecto a $ x $ , donde $ x \in \mathbb{C}^{n \times 1} $ y $ M \in \mathbb{C}^{n \times m} $ . Así es como lo he enfocado, pero no he tenido éxito.

Primero, $$ Y = diag(x) $$

Entonces, $$ Z = Y M $$

El diferencial de $ Z $ es $$ dZ = dY M $$

Si no me equivoco $ dY = (I_{n \times n} \otimes 1_{n \times 1}) dx $ . Así que $$ dZ = (I_{n \times n} \otimes 1_{n \times 1}) (dx) M $$

Pero las dimensiones no tienen mucho sentido en esta última expresión. ¿Podría ayudarme a encontrar la forma correcta?

Answer 1

La expresión mixta vec-diag puede reordenarse utilizando la fórmula $${\rm vec}\Big(A\,{\rm Diag}(b)\,C\Big) = \Big((C^T\otimes 1_a)\odot(1_c\otimes A)\Big)\,b$$ En este caso las variables de interés son $(A=I_n,\,\,C=M,\,\,b=dx),\,$ por lo tanto $$\eqalign{ {\rm vec}(dZ) &= {\rm vec}\Big(I_n\,\,{\rm Diag}(dx)\,\,M\Big) \cr dz &= \Big((M^T\otimes 1_n)\odot(1_m\otimes I_n)\Big)\,dx \cr \frac{\partial z}{\partial x} &= (M^T\otimes 1_n)\odot(1_m\otimes I_n) \cr }$$