¿Es un espacio vectorial un subespacio de sí mismo?

Question

Sabemos que un subespacio (de un espacio vectorial $V$) es un espacio vectorial que sigue las mismas reglas de adición y multiplicación que $V$, pero ¿es un espacio vectorial un subespacio de sí mismo?

También, me estoy confundiendo al hacer las preguntas de práctica, en cuando probamos que algo es un espacio vectorial utilizando la prueba de subespacios y cuando probamos V1 - V10, que son los diez axiomas de los espacios vectoriales. Por ejemplo, en $\Bbb R^2$, tenemos que $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec {x}$, etc.

Answer 1

Sí, todo espacio vectorial es un subespacio vectorial de sí mismo, ya que es un subconjunto no vacío de sí mismo que está cerrado con respecto a la adición y con respecto al producto por escalares.

Answer 2

Estoy suponiendo que V1 - V10 son los axiomas para demostrar espacios vectoriales.

Para demostrar que algo es un espacio vectorial, independientemente de cualquier otro espacio vectorial que conozcas, debes demostrar todos los axiomas en la definición. No todas las operaciones que se llaman a sí mismas $+$ son operaciones de suma dignas; solo porque lo denotas como $+$ no significa que sea (por ejemplo) asociativa, o tenga una identidad aditiva.

Hay mucho que demostrar, porque hay mucho que ganar. Los espacios vectoriales tienen una cantidad simplemente enorme de estructura, y esa estructura nos brinda una teoría muy rica y herramientas poderosas. Si tienes un objeto que deseas entender mejor, y puedes demostrar que es un espacio vectorial (o al menos, está relacionado con un espacio vectorial), entonces instantáneamente tendrás un gran poder matemático a tu disposición.

Los subespacios nos proporcionan un atajo para demostrar un espacio vectorial. Si tienes un subconjunto de un espacio vectorial conocido, entonces puedes demostrar solo $3$ propiedades, en lugar de $10$. Podemos omitir muchos pasos porque alguien ya los ha hecho previamente al demostrar que el espacio vectorial más grande es de hecho un espacio vectorial. No necesitas mostrar, por ejemplo, $v + w = w + v$ para todos los $v, w$ en tu subconjunto, porque ya sabemos que esto es cierto para todos los vectores en el espacio vectorial más grande.

Estoy escribiendo esto, no como una respuesta directa a tu pregunta (que José Carlos Santos ya ha respondido), sino porque la confusión como esta a menudo proviene de cierta descortesía en el punto anterior. He visto muchos estudiantes (y, lamentablemente, varios instructores) que no logran comprender que mostrar las condiciones de subespacio en un conjunto que no es claramente un subconjunto de un espacio vectorial conocido no prueba un espacio vectorial. El atajo funciona porque alguien ya ha establecido la mayoría de los axiomas de antemano, pero si esto no es cierto, entonces el argumento es una falacia.

Puedes aplicar absolutamente las condiciones de subespacio en todo un espacio vectorial si ya has demostrado que es un espacio vectorial con los axiomas V1 - V10.