Esta pregunta es de mi curso de colectores lisos.
Dejemos que $G(k,n)$ denotan $\{k\text{-dimensional vector space in } \mathbb{R}^n\}$ , que es igual a $\{n \times k \text{ matrix of rank }= k\} \big/ \sim$
donde $A \sim B \iff \exists g \in GL_k(\mathbb{R}) ~\text{such that} ~B = Ag$ .
Quiero demostrar que la relación equivalente $\sim$ es abierto, lo que significa que el mapa canónico (de proyección) es abierto.
La siguiente es mi prueba :
Dejemos que $F(k,n)$ denotan $\{n \times k \text{ matrix of rank }= k\}$ , y $\pi$ denota el mapa canónico (de proyección) derivado de $\sim$ .
Supongamos que $U$ está abierto en $F(k,n)$ .
Para demostrar que $\sim$ está abierto, basta con demostrar que $\pi^{-1}(\pi(U))$ está abierto en $F(k,n)$ .
$$\pi^{-1}(\pi(U)) = \{Ag : A \in U, ~ g \in GL_k(\mathbb{R})\} = \bigcup_{g \in GL_k(\mathbb{R})} Ug .$$
Por lo tanto, si $Ug$ está abierto para todos $g \in GL_k(\mathbb{R})$ entonces $\pi^{-1}(\pi(U))$ está abierto, y así obtengo el hecho de que $\sim$ está abierto.
Intenté probarlo directamente.
Para cualquier $A \in Ug$ Sabemos que $Ag^{-1} \in U$ . Porque $U$ está abierto, existe $\epsilon >0$ tal que $B_\epsilon(Ag^{-1}) \subset U$ .
Por lo tanto, $B_\epsilon(Ag^{-1})g \subset Ug$ y sabemos que $A \in B_\epsilon(Ag^{-1})g$ .
Por lo tanto, si podemos encontrar $\delta > 0$ Satisfaciendo a $B_\delta(A) \subset B_\epsilon(Ag^{-1})g$ , entonces podemos concluir que $Ug$ está abierto.
Sin embargo, estoy atascado para proceder.
Le agradecería mucho que se preocupara y aconsejara.
