Demuestre que la media de $D_wD_wf(x_0,y_0)$ sobre todos los vectores unitarios $w$ es igual a $\frac{1}{2} \Delta f(x_0,y_0)$ para cualquier función suave $f$ .

Question

Aquí hay un problema de desafío de mi profesor de matemáticas:

Dejemos que $w$ sea un vector unitario en $\mathbb{R}^2$ y que $D_w$ denotan la derivada direccional con respecto a $w$ . Demostrar que para cualquier función suave $f$ en $\mathbb{R}^2$ y cualquier punto $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ la media de $D_w D_w f(x_0, y_0)$ sobre todos los vectores unitarios $w$ es igual a $\frac{1}{2}\Delta f(x_0, y_0)$ . Este hecho (que se generaliza a dimensiones superiores) ayuda a explicar por qué el Laplaciano $\Delta$ es un operador diferencial "natural" que aparece en muchas EDP importantes.

Mi intento

Suponiendo que $f$ es cualquier función suave, vemos que sus derivadas parciales existen. Para mi ejercicio, establezco que el vector unitario es $w = (a,b)$ . He intentado demostrar esta afirmación mediante un cálculo de la siguiente manera:

Para el lado izquierdo...

$$\begin{aligned} D_wD_w f(x,y) &= D_w((a,b) \cdot (f_x, f_y))\\ &= D_w(af_x + bf_y)\\ &= (a,b) \cdot (af_{xx} + bf_{yx}, af_{xy} + bf_{yy})\\ &= a^2f_{xx} + 2abf_{xy} + b^2f_{yy}\\ &= a^2f_{xx} + b^2f_{yy} \end{aligned}$$

Para el lado derecho...

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\Delta f(x,y) = \dfrac{1}{2}(f_{xx} + f_{yy}) \end{aligned}$$

Así que en el punto $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ ,

$$\begin{aligned} D_wD_w f(x_0,y_0) &= a^2f_{xx}(x_0, y_0) + b^2f_{yy}(x_0, y_0)\\ \dfrac{1}{2}\Delta f(x_0,y_0) &= \dfrac{1}{2}(f_{xx}(x_0, y_0) + f_{yy}(x_0, y_0)) \end{aligned}$$

Estoy atascado aquí ya que no estoy seguro de cómo enfocar este problema por la "media de las derivadas direccionales sobre los vectores unitarios".

¿Algún consejo o sugerencia?

Answer 1

Todos los vectores unitarios pueden ser parametrizados por $(a,b)=(\cos\theta,\sin\theta)$ , por lo que hay que promediar $D_wD_wf(x_0,y_0)$ sobre el círculo, y como $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\frac{1}{2}$ , obtenemos el resultado.

Por cierto, has cometido un error en $D_wD_wf(x_0,y_0)$ , usted por alguna razón dejó caer el $f_{xy}$ término. Este término debería estar ahí, sin embargo, desaparecerá al hacer la media.

Answer 2

Nuestro OP NasuSama ya ha hecho gran parte del trabajo. Nosotros, como fruto de sus esfuerzos,

$D_wD_w f(x, y) = a^2f_{xx} + 2abf_{xy} +b^2f_{yy}; \tag{1}$

Sin embargo, no es cierto en general que

$a^2f_{xx} + 2abf_{xy} + b^2f_{yy} = a^2f_{xx} + b^2f_{yy}, \tag{2}$

ya que esto se cumple si y sólo si

$2abf_{xy} = 0, \tag{3}$

lo que, por supuesto, es falso a menos que $f_{xy} = 0$ o $ab= 0$ que para los vectores unitarios $(a, b)$ significa $a = \pm 1, b = 0$ o $a= 0, b = \pm 1$ desde $a^2 + b^2 = 1$ . Si, por el contrario, tomamos la media de (1) sobre todos los vectores unitarios $w= (a, b)$ en algún momento $(x_0, y_0)$ El término $2f_{xy}(x_0, y_0)ab$ se desvanece, así: los vectores unitarios $w = (a, b)$ puede representarse como $(a, b) = (\cos \theta, \sin \theta)$ , donde $\theta \in [0, 2\pi)$ . Teniendo esto en cuenta, (1) se convierte, en el punto $(x_0, y_0)$ ,

$D_wD_wf(x_0, y_0) = \cos^2 \theta f_{xx}(x_0, y_0) + 2\cos \theta \sin \theta f_{xy}(x_0, y_0) + \sin^2 \theta f_{yy}(x_0, y_0); \tag{4}$

promediamos (4) sobre los vectores unitarios aplicando el operador integral $(1 / 2 \pi) \int_0^{2\pi} d \theta$ a cada lado, obteniendo, en virtud de que las derivadas de $f$ son independientes de la variable $\theta$ ,

$\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(D_wD_w)f(x_0, y_0) d\theta$ $= f_{xx}(x_0, y_0)\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2 \theta d\theta + 2 f_{xy}(x_0, y_0)\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos \theta \sin \theta d\theta$ $+ f_{yy}(x_0, y_0)\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2 \theta d\theta. \tag{5}$

Desde $\int_0^{2\pi} \cos^2 \theta d \theta = \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta d \theta = \pi$ y $\int_0^{2\pi}\cos \theta \sin \theta d\theta = (\dfrac{1}{2}\sin^2 \theta \mid_0^{2\pi} = 0$ ,

(5) se convierte en

$\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(D_wD_w)f(x_0, y_0) d\theta = \dfrac{1}{2}(f_{xx}(x_0, y_0) + f_{yy}(x_0, y_0)), \tag{6}$

el resultado requerido. QED.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!