¿cómo calcular las siguientes matrices M y N para una matriz cuadrada (posiblemente singular) E?
Como ventaja, el método debería ser aplicable a E que contenga variables simbólicas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $E$ ser un $n\times n$ matriz de rango $r$ sobre el campo $k$ . Dejemos que $x_{r+1}, \ldots, x_n$ sea una base de $\ker E$ y completarlo en una base $x_1,\ldots, x_r,x_{r+1},\ldots, x_n$ de $k^n$ . Deja : $$ N = \left(\begin{array}{c|c|c|c} x_1 & x_2 & \ldots & x_n\end{array}\right)$$
Entonces, tenemos : \begin{align} EN &= \left(\begin{array}{c|c} Ex_1 & Ex_2 & \ldots & Ex_n\end{array} \right) \\N - \N - a la derecha &= \left( \begin{array}{c|c} y_1 & \ldots & y_r & 0 & \ldots & 0\end{array} \(derecha) |align}
donde $y_1,\ldots,y_r$ es un conjunto de vectores linealmente independientes. Complétalo en una base $(y_1,\ldots,y_n)$ de $k^n$ , y luego se establece : $$M = \left(\begin{array}{c|c|c|c} y_1 & y_2 & \ldots & y_n\end{array}\right)$$ para que : $$EN = M \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ es decir $$E = M \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}N^{-1}$$
Si $E$ contiene variables formales $X_1,\ldots,X_n$ , sólo extiende el campo base a las fracciones racionales $k(X_1,\ldots,X_n)$ , por lo que el algoritmo anterior funciona.
Algoritmos Se necesitan dos subalgoritmos: uno para calcular una base de $\ker E$ (una búsqueda rápida parece indicar que Mathlab tiene un función incorporada ) y otra para extender una familia linealmente independiente en una base (ver las diferentes respuestas aquí ).
