El axioma de Aristóteles en la geometría hiperbólica

Question

Necesito demostrar que el axioma de no limitación de ángulos de Aristóteles se cumple en la geometría hiperbólica y no sé por dónde empezar. El problema dice que podemos tomar un segmento paralelo a uno de los catetos de un ángulo y hacer alguna construcción basada en él, pero no entiendo muy bien qué significa eso. ¿Alguna sugerencia?

¡Gracias!

Answer 1

El "Axioma de la no limitación del ángulo de Aristóteles" establece que dado cualquier segmento $AB$ y un ángulo agudo $\alpha$ (ver figura), existe un punto $E$ en cualquier rama del ángulo tal que si $F$ es el pie de la perpendicular de $E$ al otro lado del ángulo, $EF > AB$ . En otras palabras, los segmentos perpendiculares de un lado a otro de un ángulo agudo no tienen límites (el axioma de Aristóteles está implícito en el axioma de Arquímedes).

Se puede demostrar utilizando el hecho de que "para cualquier ángulo agudo $\alpha$ existe una línea que es paralela a un brazo del ángulo y ortogonal al otro brazo del ángulo. En particular, existe un segmento cuyo ángulo de paralelismo es igual a $\alpha$ ." ( fuente de la imagen )

Dado un segmento $AB$ y un ángulo agudo $\alpha$ con brazos $l$ y $m$ , dejemos que $n$ sea la paralela a un brazo $m$ que corta el otro brazo perpendicularmente en un punto $D$ ( esta línea " $n$ " siempre existe como establece el teorema anterior, y es la pista mencionada por el problema ).

Dejemos que $C$ sea un punto en $n$ tal que $CD \cong AB$ . Dibuja una perpendicular a $n$ en $C$ y que se cruce con $m$ en $E$ . Deja caer una perpendicular desde $E$ a $l$ con pie $F$ . Ahora tenemos un Cuadrilátero de Lambert $\square CDFE$ .

El ángulo en $E$ ( $\measuredangle CEF$ ) debe ser agudo (ya que este es el supuesto fundamental de la geometría hiperbólica). Por lo tanto, $EF > CD \cong AB$ .

Answer 2

Si entiendes la forma en que se modelan la distancia, el paralelismo y la perpendicularidad en el modelo de disco de Klein de la geometría hiperbólica, entenderás muy bien esta respuesta. Observa la siguiente figura.

Todo segmento (dentro del círculo) de una recta euclidiana que pase por el punto de cruce de las rectas tangentes (blancas) es perpendicular, en sentido hiperbólico, a la recta hiperbólica determinada por $AB$ . La figura muestra que para cualquier $\alpha$ hay segmentos (por ejemplo $AB$ ) que no pueden ser superadas por las perpendiculares que caen de la hipotenusa de un triángulo dado.