Estoy trabajando en el capítulo "Familias" de "Teoría ingenua de conjuntos" de Paul Halmos, y encontré esta nota en el ejercicio final:
Demostrar también (con las salvedades oportunas sobre las familias vacías) que $\bigcap_i X_i \subset X_j \subset \bigcup_i X_i$ para cada índice $j$ y que la intersección y la unión pueden, de hecho, caracterizarse como el solución extrema de estas inclusiones [el subrayado es mío]. Esto significa que si $X_j \subset Y$ para cada índice $j$ entonces $\bigcup_i X_i \subset Y$ y que $\bigcup_i X_i$ es el único conjunto que satisface esta condición de minimidad; la formulación para las intersecciones es similar.
¿Qué significa decir que la intersección y la unión son la "solución extrema de estas inclusiones"? El conjunto vacío $\emptyset$ por ejemplo, parece un mejor candidato para la solución extrema en el lado izquierdo de la relación de inclusión, y cualquier conjunto disjunto de cualquier $X_j$ unida a la unión completa aumentaría los límites.
¿Significa acaso que estos son los más ajustado ¿límites posibles?
Este ejercicio también se trató en Ejercicio en el libro de teoría de conjuntos de Halmos. pero no en este aspecto.
