Plano tangente a la superficie $\cos(x)\sin(y)e^z = 0$ ?

Question

La superficie es como en el título, $$\cos(x) \sin(y) e^z = 0$$ Estoy buscando el plano tangente en el punto $(\frac{\pi}{2},1,0)$

Conozco la ecuación de un plano tangente para $z = f(x,y)$ es $$z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$ Pero en la superficie dada, no puedo aislar para $z$ . ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Dejemos que $f : U\subset \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ sea dada por $f(x,y,z)=\cos x\sin y e^z$ entonces tenemos que su superficie es efectivamente un conjunto de nivel $M = f^{-1}(0)$ . Entonces es fácil: recuerda que el gradiente de una función es ortogonal a los conjuntos de niveles. Usando esto tenemos que

$$\nabla f(x,y,z)=(-\sin x\sin ye^z, \cos x\cos y e^z, \cos x\sin y e^{z})$$

Para que en $(\pi/2,1,0)$ tenemos $\nabla f(\pi/2,1,0)=(-\sin 1,0,0)$ para que la normal sea un múltiplo del vector $e_1$ y, por tanto, como la magnitud del vector normal no importa, podemos elegir que el vector normal sea $e_1$ . Por supuesto entonces, el plano tangente es sólo el $yz$ avión.

Answer 2

Una pista: Puede utilizar el teorema de la función implícita .