¿Valor esperado de la varianza?

Question

La varianza de una variable aleatoria desconocida $X$ es 6. La variable aleatoria desconocida $X$ es para un lado de un rectángulo. El valor esperado para el área del rectángulo es 6 y la suma de todos los lados es 20. ¿Cuál es el valor esperado de la variable aleatoria desconocida $X$ ?

Este problema parece sencillo, pero no consigo entenderlo. Creo que debería utilizar la fórmula algebraica para la varianza $\mathrm{var}(X)=E(X^2)-E(X)^2$ . El $\mathrm{var}(X)$ es conocido, pero no puedo averiguar cómo implementar el valor esperado para el área en esto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Este sistema de ecuaciones en $\mathbb{E}\left[X\right]$ y $\mathbb{E}\left[X^2\right]$ debería ayudar:

$$\mathbb{E}\left[X(10-X) \right] = 6$$ $$\mathbb{E}\left[X^2 \right] - \mathbb{E}\left[X\right]^2 = 6$$

Spoiler:

$$10\mathbb{E}\left[X \right] - \mathbb{E}\left[X^2 \right]= 6$$