Métrica en $\mathbb{R}$ que coincide con la topología habitual

Question

En la topología de Munkres hay un ejercicio que nos pide demostrar lo siguiente

Dejemos que $X$ sea un espacio metrizable. Demuestre que lo siguiente es equivalente. (i) X está acotado bajo toda métrica que da la topología de X. (ii) Toda función continua $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}$ está acotado. (iii) X es punto límite compacto.

Dado que la función $f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $f(x) = \tan(\frac{\pi}{2} x)$ es ilimitado y continuo, eso debe significar que hay una métrica en $(-1,1)$ que genera la misma topología que la habitual, pero bajo la cual $(-1,1)$ no tiene límites. ¿Puede alguien decirme de qué métrica se trata?

Answer 1

Sólo tienes que seguir la definición. Tomando $f(x)=\tan(\pi x/2)$ (que estoy seguro que es lo que pretendías) entonces $$d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|\tan(\pi x/2)-\tan(\pi y/2)|.$$