Soluciones enteras de $xy+9(x+y)=2006$

Question

¿Cuántas soluciones enteras tiene $xy+9(x+y)=2006$ ¿tiene? Aquí $x$ y $y$ son ambos enteros.

Lo he intentado: He tratado de resolver este problema. Pero no tengo idea de cómo resolverlo. Por favor, ayuda

Answer 1

Añadir $81$ a ambas partes para dar $$xy + 9x + 9y + 81 = (x+9)(y+9) = 2087,$$ y luego considerar los divisores de la RHS.

Answer 2

Idea clave $\ $ Completar una cuadrado $ $ se generaliza a $ $ completando un producto

$$\begin{eqnarray} x^2\:\! &+&\ \ \,2bx &=& (x + b)^2 - b^2\\ \iff\ x\color{#c00}x &+& bx\!+\!b\color{#c00}x &=\,& (x+b)(\color{#c00}x+b)-b^2\\ \iff \ x\color{#c00}y &+& bx\!+\!b\color{#c00}y\ &=& (x+b)(\color{#c00}y+b)-b^2\\ {\rm generally}\quad {xy}&+&bx\!+\!cy &=& \color{#0a0}{(x+c)(y+b) - bc} \end{eqnarray}\quad\ \ \,$$

Nota: $\ $ El Método AC lo amplía a No es un monumento (coef. de plomo $\,a\neq 1)$ como sigue

$$\begin{eqnarray} && \ \ \ a\ x\ y &+& b\ x&+&c\ y &=&\ \ d\\ \smash{ \overset{\large \times\ a}\iff} && \ \ ax\,ay &+& b\,ax &+& c\,ay &=& ad\\ \iff && \ \ \ {X\ Y} &+& {b\,X} &+& {c\,Y} &=& ad,\quad X = ax,\ \ Y = ay\\ \iff && \ \color{#0a0}{(X\!+\!c)}&&\!\!\!\!\! \color{#0a0}{(Y\!+\!b)}&\color{#0a0}-&\, \color{#0a0}{bc} &=\,& ad,\quad {\rm by\ \ \color{#0a0}{monic\ \ case}\ \ above}\\ \iff && (ax\!+\!c)\!\!&&\!\!\!\!\!\!(ay\!+\!b)\!\! && &=& ad\!+\!bc \end{eqnarray}$$

Resumiendo, si $\,a\,$ es cancelable (por ejemplo $\,a\neq 0\,$ en $\Bbb Z)\,$ entonces

$$\bbox[1px,border:3px solid #c60]{\bbox[8px,border:1px solid #c00]{\begin{align} axy + bx + cy &\,=\, d\\[.2em] \!\!\!\iff (ax+c)(ay+b) &\,=\, ad+bc\end{align}}}\qquad\qquad\qquad\qquad$$

Este es un caso de La solución de Lagrange de la ecuación diofantina cuadrática binaria general.

Answer 3

Sólo para dar otra forma de resolver .

$$p+9s=2006\Rightarrow p\equiv8\pmod9\Rightarrow p=8+9n$$ Entonces $s=t-n$ para algunos $t$ que se deduce de $$(8+9n)+9(t-n)=2006\Rightarrow t=222$$ por lo que tenemos la solución general para la suma y el producto $$\begin{cases}p=8+9n\\s=222-n\end{cases}$$ Ahora tenemos para los valores de $x$ y $y$ $$X^2-(222-n)X+(8+9n)=0$$ donde por comodidad ponemos $2n$ en lugar de $n$ por lo que tenemos la ecuación $$X^2-2(111-n)X+(8+18n)=0\Rightarrow X=111-n\pm\sqrt{n^2-240n+12313}$$ Necesitamos $$n^2-240n+12313=Y^2\\(n-120)^2+2087=Y^2\\2087=(Y+n-120)(Y-n+120)$$ Desde $2087$ es primo tenemos una fácil factorización que da valores de ajuste de $n$ .

( Por cierto, $2087$ es el mismo número entero alcanzado en la concisa y hermosa prueba de @heropup ).