Límite superior para la suma de coeficientes binomiales

Question

Necesito proporcionar un límite superior razonable para la siguiente suma para grandes $N$ y un determinado $c \in (0,1], q \in [0, 1]$ : $$ \sum_{n= [ c N ] }^{N} \binom{N}{n} q^n $$ ¿Existe una buena fórmula para ese límite superior? No me queda claro bajo qué condiciones en $c$ y $q$ diverge al infinito con $N$ o va a 0 exponencialmente rápido con $N$ .

Tenga en cuenta que para cualquier $q$ y $N$ , $$ \sum_{n= 0 }^{N} \binom{N}{n} q^n = ( 1 + q)^N. $$

Answer 1

Su suma, llámela $S(c,q,N)$ es similar a la cola de una distribución binomial. La distribución normal es una aproximación razonable a la distribución binomial, y existen estimaciones algebraicas para las colas de las distribuciones normales. Por lo tanto, es posible obtener una estimación algebraica para su suma. En el cálculo siguiente, el "valor crítico" de $c$ se hará evidente.

En un experimento binomial con $N$ ensayos y probabilidad de éxito $\alpha$ y el fracaso $\beta=1-\alpha$ la probabilidad de que exactamente $n$ ensayos exitosos es $\binom Nn\alpha^n\beta^{N-n}$ . Para igualar su suma, debemos tener $\alpha\beta^{-1}=q$ . Esto equivale a $\alpha=\frac q{1+q}$ y $\beta=\frac 1{1+q}$ . Así que, \begin{eqnarray*} % \nonumber to remove numbering (before each equation) S(c,q,N) &=& (1+q)^N\sum_{n=cN}^N \binom Nn\alpha^n\beta^{N-n} \\ &=& (1+q)^N\text{Binomial} (n\ge cN,\text{probability of success }\alpha,\text{number of trials }N). \end{eqnarray*} Una distribución binomial con probabilidad de éxito $\alpha$ y $N$ ensayos se aproxima muy bien a una distribución normal con media $N\alpha$ y la desviación estándar $\sqrt{N\alpha(1-\alpha)}$ . Así que, $$S(c,q,N)\approx (1+q)^N\text{Normal}\left(X>cN, \text{mean }N\alpha,\text{standard deviation }\sqrt{N\alpha(1-\alpha)}\right).$$ Como es habitual, esta distribución se puede estandarizar restando la media y dividiéndola por la desviación estándar. Así, $$S(c,q,N)\approx(1+q)^N\text{Standard Normal}\left(Z>\frac{cN-\alpha N}{\sqrt{N\alpha(1-\alpha)}}=(c-\alpha)\sqrt{\frac{N}{\alpha(1-\alpha)}}\right).$$ Por lo tanto, el valor crítico de $c$ es $\alpha=\frac q{1+q}$ en el sentido de que si $c<\frac q{1+q}$ entonces la probabilidad acumulada en la distribución normal estándar se aproxima a 1 como $N$ se hace grande y en este caso $S(c,q,N)$ se acerca a $(1+q)^N$ . Por otro lado, si $c>\frac q{1+q}$ , entonces la probabilidad acumulada en la distribución normal estándar es una cola derecha. Un "primer orden" aproximación de una cola derecha en una distribución normal estándar es $$\text{Standard Normal}(Z>x)\approx \frac{{\text{e}}^{-\frac{x^2}2}}{x\sqrt{2\pi}}.$$ Por lo tanto, si $c>\frac q{1+q}$ entonces \begin{eqnarray*} % \nonumber to remove numbering (before each equation) S(c,q,N) &\approx& (1+q)^N\frac{{\text{e}}^{-\frac{(c-\alpha)^2 N}{2\alpha(1-\alpha)}}}{(c-\alpha)\sqrt{\frac{2\pi N}{\alpha(1-\alpha)}}} \end{eqnarray*} Después de expresar todo en términos de las variables originales, en el caso de $c>\frac q{1+q}$ obtenemos $$S(c,q,N) \approx\frac{{\text{e}}^{N\bigl(\log(1+q)-\frac{(c-\frac {q}{1+q})^2(1+q)^2}{2q}\bigr)}}{\bigl((1+q)c-q\bigr)\sqrt{\frac{2\pi N}{q}}}.$$