Podemos escribir el "polinomio" de la siguiente manera: $$x^4+x^3+x^2+x+1=\frac{x^5-1}{x-1}.$$ Incluso para $x=2y$ tenemos que $x^5-1=(2y)^5-1=32y^5-1\equiv1$ mod $5$ .
Para impar $x=2y+1$ tenemos que $(2y+1)^5-1\equiv_532y^5\equiv2$ mod $5$ .
Me cuesta creer mis cálculos anteriores. Supongo que esto me hace bastante despistado. Esperaba que hubiera alguna salida con los símbolos de Legendre. Se agradece cualquier ayuda.
Sugerencia : Supongamos que $$p\mid x^5-1$$ significa $$x^5\equiv 1\pmod p.$$ Esto nos da $\text{ord}_p(x)\mid 5$ . Supongamos que $x\not\equiv 1\pmod p$ , lo que significa $\text{ord}_p(x)=5$ . Sabemos que por cada $n$ y $x$ coprima a $n$ que $\text{ord}_n(x)\mid \phi(n)$ . ¿Qué significa esto en nuestro escenario? ¿Cómo eliminamos el caso $x\equiv 1\pmod p$ ?
Ohh, creo que ahora lo tengo. Desde $\text{ord}_p(x)|5$ y también $\text{ord}_p(x)|\varphi(p)=p-1$ tenemos que $p$ es $1$ mod $5$ . Si $x\equiv1$ mod $p$ entonces $x^4+x^3+x^2+x+1\equiv5$ mod $p$ lo que significa que $p=5$ desde $p$ es primo. ¿Es eso cierto?
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Si $p\ne 5$ entonces $x^5\equiv1\pmod p$ y $x\not\equiv1\pmod p$ . Así que $x$ tiene orden $5$ modulo $p$ .
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@LordSharktheUnknown ¿Cómo sabes que los 5º poderes son $1$ mod $p$ ?