demostrar que $\lim \limits_{n \to \infty}a_n= \lim \limits_{n \to \infty}b_n$

Question

$\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son dos secuencias convergentes.

Su dado que los dos conjuntos : $\lbrace n \in \mathbb{N} : a_n \le b_n \rbrace$ , $\lbrace n \in \mathbb{N} : b_n \le a_n\rbrace$ no están acotados.

demostrar que $\lim \limits_{n \to \infty}a_n= \lim \limits_{n \to \infty}b_n$

¿alguna pista? (con la intención de probarlo formalmente)

Answer 1

Una pista: considere la secuencia $a_n - b_n$ que sabemos que debe converger. Supongamos que $\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) \neq 0$ y derivar una contradicción.

Answer 2

Si una secuencia converge, entonces toda subsecuencia converge al mismo límite. En particular, se tiene una secuencia $n'_k$ y una secuencia $n''_k$ de enteros tal que $a_{n'_k} \leq b_{n'_k}$ y $a_{n''_k} \geq b_{n''_k}$ . Tomando los límites como $k \to +\infty$ y recordando que estos límites coinciden con los límites de las secuencias completas, $\lim_n a_n \leq \lim_n b_n$ y $\lim_n a_n \geq \lim_n b_n$ . De ahí se desprende la conclusión.