$G$ abelian grupo con $\vert G\vert =mn$$\gcd(m,n)=1$.

Question

Espero que esto no es un duplicado. En primer lugar, en lo que sigue no estoy permitido (por desgracia) para el uso de la estructura teorema de abelian grupos. Me piden demostrar los siguientes:

Deje $G$ ser un grupo abelian con $\vert G\vert =mn$$\gcd(m,n)=1$. Demostrar que $G$ $H\times K$ con $H,K\leq G$, $\vert H\vert =m$ y $\vert K\vert =n$.

Hay una sugerencia: considere el $G^{m}:=\{g^{m}\in G:\ g\in G\}$ $G^n$ de forma análoga se define.

Bien, $G^m$ $G^n$ son subgrupos de $G$ debido a que son las imágenes en los mapas de $g\mapsto g^m$ $g\mapsto g^n$ $G$ $G$y tales funciones se homomorphisms porque $G$ es abelian. Por el hecho de que $$o(g^m)=\dfrac{o(g)}{\gcd (o(g),m)}$$ (where $o(g)$ denotes the order of $g$) and using $\gcd(m,n)=1$, I easily get that $G^m\cap G^n$ is trivial. It is also easy to show that $G^G^n=G$, writing $1=um+vn$ for some $u,v\in\mathbb{Z}$. Since $G$ is abelian, both subgroups are normal and I get $G^m \times G^n\cong G$. The question is: "How do I show that $\{\vert G^m\vert,\ \vert G^n\vert\}=\{m,n\}$?" Traté de mirar en el núcleo de, digamos, $g\mapsto g^m$, que es el conjunto de todos los elementos de a $G$ cuya orden se divide $m$ e di cuenta de que $G^{n}\subseteq \ker (g\mapsto g^m)$, pero no puedo ir más lejos.

Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

Usted ya demostró que la $G^mG^n=G$, lo que implica que $|G^n|\cdot|G^m|\geq G$, $G^n$ está contenida en el núcleo de los morfismos $g\to g^m$ cuya imagen es $G^m$, lo que implica que $|G^n|\cdot|G^m|\leq G$. Así en el hecho de $|G^n|\cdot|G^m|=G$. Pero $|G_n|$ también debe ser relativamente primos con $n$ (o de sus elementos, no podían estar en ese núcleo), y debemos tener $|G^n|=m$ y, a continuación,$|G^m|=n$.

Voy a añadir que lo que hace que todo esto parezca un poco complicado es que la declaración no es lo suficientemente general. Más en general, de hecho es que es relativamente primer enteros $m,n$ cualquier grupo Abelian $G$ aniquilado por (tomando el poder) $mn$ es la suma directa de sus subgrupos aniquilado, respectivamente, por $m$ y $n$. Este es inmediata a partir de una Bezout relación $1=um+vn$: de un lado, cualquier $g=g^{um}g^{vn}$ es el producto de los subgrupos, y en la otra mano debe estar en ambos al mismo tiempo, cada uno de los factores $g^{um}$ $g^{vn}$ es separado de la identidad, por lo $g$ es así. El orden del subgrupo aniquilado por $m$ retiene todos los factores primos de a $|G|$ que dividen $m$ (con sus multiplicidades) y el resto (los factores primos que dividen a $n$) entra en el orden de los otros subgrupos.

Answer 2

$G^n\subseteq \ker(g\mapsto g^m)$ ya está, lo que se desea, como se dice que $o(x)|m$ todos los $x\in G^n$, por lo tanto $(o(x),n)=1$, por lo tanto $(|G|,n)=1$.