Varianza de la variable aleatoria al cuadrado

Question

¿Puede alguien ayudar a probar esta ecuación para cualquier distribución $$ E(z^4)=1+\operatorname{Var}(z^2) $$ donde $z$ es una variable aleatoria con la distribución normal estándar

$$z=\frac{x}$$

Answer 1

Lo que tenemos es $$\operatorname{Var}\left(z^2\right)=\mathbb E\left[\left(z^2\right)^2\right]-\left(\mathbb E\left[z^2\right]\right)^2=\mathbb E\left[z^4\right]-\left(\mathbb E\left[z^2\right]\right)^2,$$ por lo que la fórmula del post inicial es verdadera si y sólo si $\mathbb E\left[z^2\right]=1$ .