En wikipedia está escrito que
La decidibilidad no debe confundirse con la exhaustividad. Por ejemplo, la teoría de los campos algebraicamente cerrados es decidible pero incompleta, mientras que el conjunto de todos los enunciados verdaderos de primer orden sobre los enteros no negativos en el lenguaje con + y × es completo pero indecidible.
Una teoría se llama completa (ver wikpedia:teoría completa) si para cada frase o su negación es demostrable en la teoría. Pero entonces, supongo que la completitud produciría decidibilidad, ya que podemos simplemente enumerar todas las proposiciones demostrables (las pruebas son derivaciones de longitud finita) y comprobar si la actual es igual a la sentencia (o su negación) en cuestión. Por completitud, este procedimiento terminará.
Así que tal vez la completitud del sistema lógico se entiende en ese párrafo, es decir, un sistema lógico es completo si las oraciones válidas coinciden con las demostrables. En El resultado de completitud de Gödel La lógica de primer orden está completa. Tal y como está escrito aquí la teoría de los campos algebraicamente cerrados es axiomatizable en lógica de primer orden, por lo que no podría ser incompleta en este sentido, pero el párrafo citado afirma exactamente eso.
Así que, para ambas interpretaciones de la completitud, completitud de una teoría, o de un sistema lógico, el párrafo citado no tiene sentido para mí. ¿Podría alguien explicar lo que me falta, o lo que se quiere decir aquí?