Series de potencias por fracciones parciales

Question

Intento encontrar una serie de potencias centrada en el origen para la función $f(z) = \frac {1}{1-z-2z^2}$ utilizando primero fracciones parciales para expresar $f(z)$ como una suma de dos funciones racionales simples. Si no me equivoco, tengo lo siguiente: $ \frac {A}{-2z+1} + \frac {B}{z+1} \Rightarrow A(z+1) + B(-2z+1) = 1 $ . De aquí deduje que $A= \frac{2}{3}$ y $B=\frac{1}{3}.$ Si eso es correcto, entonces aquí es donde me quedo atascado: Sé que si $f$ es analítico en $D(\alpha; r) $ , entonces existen constantes $C_k$ tal que $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} C_k (z-\alpha)^k$ para todos $z \in D(\alpha;r)$ . Por lo tanto, escribiría $f(z) = \frac{\frac{1}{3}}{-2z+1} + \frac{\frac{2}{3}}{z+1} \Rightarrow \frac{\frac{1}{3}}{-2z+1} + \frac{\frac{2}{3}}{z+1} = \sum_{k=0}^{\infty} C_k (z-\alpha)^k$ . ¿Me falta algún paso o no he simplificado la descomposición de la fracción parcial adecuadamente? Una de esas simplificaciones que se me ocurre es multiplicar por el recíproco de los denominadores para obtener $\frac{1}{-6z+3} + \frac{2}{3z+3}$ . Sin embargo, sigo confundido sobre cómo proceder a partir de aquí. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Fuente: Análisis complejo, tercera edición por Joseph Bak y Donald J. Newman.

Answer 1

Cada término es representable por una serie de potencias utilizando el teorema de la serie geométrica. Obsérvese que $${1\over 1 - 2x} = \sum_{n=0}^\infty 2^n x^n, \qquad |x| < 1/2, $$ y que $${1\over 1 + x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n, \qquad |x| < 1. $$ Combina adecuadamente para obtener la expansión de la serie de potencias que desees.

Answer 2

Creo que estás pensando demasiado en esto. Tus fracciones parciales son correctas. Ahora solo usa una serie geométrica en cada una:

$$\frac{1}{1-2z} = \sum_{k=0}^{\infty} (2 z)^k$$

$$\frac{1}{1+z} = \sum_{k=0}^{\infty} (-z)^k$$

Ahora ponlos juntos en una sola suma. Deberías obtener algo como

$$\frac{1}{1-z-2 z^2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k$$

$$a_k = \frac{2}{3} 2^k + \frac{1}{3} (-1)^k$$