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¿Cuál es el objetivo del análisis armónico?

Ahora mismo estoy haciendo un curso básico de análisis armónico. Al entrar, pensé que se trataba de generalizar la transformada/serie de Fourier: encontrar una representación alternativa de alguna función en la que algo funciona mejor que antes.

Ahora, habiendo cursado las primeras semanas de esto, no se trata en absoluto de análisis de Fourier, sino del Operador Máximo de Hardy-Littlewood, teoremas de interpolación, el teorema/lema de Stein y un montón de constantes que intentamos mejorar constantemente en algunos límites. Estamos siguiendo el libro de Stein sobre integrales singulares, supongo.

¿Puede alguien decirme a qué conduce esto? ¿Por qué nos preocupan este tipo de operadores y en qué otros ámbitos están ayudando los resultados?

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karimaths Puntos 76

El análisis armónico es una herramienta muy poderosa para tratar muchos problemas matemáticos: me limito a las no linealidades en ecuaciones diferenciales parciales (ya que es mi dominio de investigación y se puede adaptar mutatis mutandis para cualquier otro dominio porque sólo se discutirán los tecnicismos) por tres razones importantes:

  1. Se basa en la filosofía del divide y vencerás: utiliza formas y métodos particulares (serie/transformación de Fourier, descomposición de Littlewood Paley) de descomposición del plano de fase que toma una única función y la escribe como una superposición de una familia contablemente infinita de funciones de frecuencias variables.

  2. Otra ventaja de los métodos de análisis armónico es que una ecuación diferencial parcial (las que involucran más de una variable $t$ Tiempo y $x$ Por ejemplo, el espacio) se verá como una ecuación diferencial ordinaria. De hecho, las derivadas en el espacio de fase se convirtieron en multiplicaciones en el espacio de frecuencia $$\mathcal{F}(\nabla f)(\xi)=2\pi i \xi\hat{f}(\xi)$$ donde por $\hat{f}$ y $\mathcal{F}(\nabla f)$ nos referimos a la transformada de Fourier de $f$ y $\nabla f$ respectivamente. Entonces la respuesta a tu pregunta es: el objetivo del análisis armónico es servir de generosa bolsa de herramientas y poderosos trucos.

  3. Una modesta información final que me permito añadir y que puede contribuir como parte de la respuesta: La idea de la derivada fraccionaria también queda clara en el contexto del análisis armónico. De hecho, aplicando formalmente la transformada inversa de Fourier sobre $(2\pi i \xi)^{\gamma}\hat{f}(\xi)$ para obtener la derivada de orden $\gamma$ de $f(x)$ para todos $\gamma\in \Bbb{R}.$ Algunas operaciones sólo pueden realizarse en el espacio de frecuencias, concretamente cuando aplicamos la transformada de Fourier y luego tomamos la inversa para volver al espacio de fases. En cuanto a los operadores y al conjunto de la teoría, hay que recordar siempre que el análisis armónico es un "gran saco" que contiene el fruto de las contribuciones de muchos matemáticos desarrolladas según la necesidad.

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lhf Puntos 83572

Puede que le guste leer esta encuesta:

El análisis armónico como explotación de la simetría: un estudio histórico por George W. Mackey, en El toro. Amer. Math. Soc. 3 (1980), 543-698.

La introducción de una página presenta los objetivos del análisis armónico en términos abstractos pero familiares.

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Vijesh VP Puntos 2535

En última instancia, ayuda a demostrar teoremas (como la existencia y la unicidad) de las ecuaciones diferenciales parciales.

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Behnam Puntos 39

Con esa configuración esperaría ver la acotación de operadores como la transformada de Hilbert, la transformada de Reisz, etc. Espero ver potencias fraccionarias del Laplaciano $\Delta$ . Por supuesto, en última instancia, depende del instructor. Hay una gran variedad de temas entre los que puede elegir.

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