La 4-esfera no admitir la dimensión 2 foliaciones

Question

Quiero saber si estoy en la 4-esfera admite la dimensión 2 foliaciones. He encontrado el siguiente teorema en una tesis por Jonathan Bowden (esto es googleable, pero no voy enlace porque no sé exactamente lo que los temas de derechos de autor podría ser). De todos modos, aquí está:

Una cerrada, orientada a 4-colector admite una orientada al 2-plano de distribución, si y sólo si existe un par $K_+,K_-\in H^2(M)$ tal que

$$\langle K_\pm^2,[M]\rangle = \pm 2\chi(M)+3\sigma(M)$$ $$K_\pm\equiv w_2(M)\mod 2$$

Ya que un requisito para que un $n$-dimensiones de la foliación es una 2-plano de distribución, y la esfera tiene trivial centro de homología, creo que esta implica la 4-esfera no tiene dimensión 2 foliaciones. Estoy en lo cierto?

EDIT: Para cualquier complejo colector de $M$ hemos canónica de la línea bundle $K_M=det_{\mathbb{C}}T^*_M$, y

$$K_M\cdot K_M=3\sigma (M)+2\chi(M)$$

Así que no estoy seguro acerca de la equivalencia de estas anotaciones, creo que el emparejamiento de más de $[M]$ podría estar implícito en el segundo, ya que si se representan estas clases como formularios que usted necesita para integrar sobre el colector para obtener números enteros. Pero, de nuevo la 4-esfera no es un complejo colector, pero tal vez hay alguna conexión entre el complejo de 2 colectores y cuando se puede estar foliada en la dimensión 2?

EDIT: he publicado un seguimiento: Ejemplos de 2-dimensiones de las foliaciones de una 4-esfera.

Answer 1

Asumiendo la validez de la declaración, su razonamiento se ve bien. No sé la respuesta a tu pregunta acerca de los complejos colectores, pero hay una manera más fácil (si sabes acerca de la característica de clases) para mostrar que $S^4$ no admite una dimensión de 2 de distribución (por no hablar de la foliación). De hecho, la siguiente generalización de la bola peluda teorema es verdadero:

$TS^{2n}$ no admite ninguna trivial subbundles (es decir, $S^{2n}$ no tiene no trivial distrubtions).

Para ver esto, supongamos por contradicción que $E \subset TS^{2n}$ es un subbundle con $1 \le \text{rank } E \le 2n-1$. Entonces usted puede encontrar un complemento de $E^\perp$$E\oplus E^\perp = TS^{2n}$ . Las propiedades de la clase de euler da $$ e(TS^{2n}) = e(e)\cup e(E^\asesino). $$ Pero $e(E) \in H^{\text{rank } E}(S^{2n};\mathbb Z) = 0$, dando $e(TS^{2n}) = 0$. Esto es una contradicción ya que el $$ 2 = \chi(S^{2n}) = \int_{S^{2n}} e(TS^{2n}) = 0. $$