Área de una región arbitraria bajo dilatación

Question

Acabo de empezar a aprender sobre las dilataciones. En mi libro (Lang's Geometry 2nd edition), la dilatación por $r$ con respecto a un punto $0$ se define como la asociación que a cada punto $P$ del plano asocia el punto $P'$ que se encuentra en el rayo $R_{op}$ a una distancia de $0$ igual a $r$ veces la de $P$ de $O$ .

Lo que me cuesta es demostrar el siguiente tópico, que el libro presenta sin una prueba rigurosa:

Dejemos que $S$ sea una región arbitraria en el plano con área $A$ . Dejemos que $rS$ sea la imagen de $S$ bajo una dilatación por un número positivo $r$ . A continuación, el área de $rS$ es $r^2·A$ .

Conozco la demostración para triángulos y rectángulos arbitrarios, pero ¿cómo demostrarlo para una forma arbitraria, sea un polígono o no? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Expresemos la relación entre $(x,y)$ el punto genérico de $P$ y $(X,Y)$ su imagen en $P'$ con notaciones vectoriales/matriciales:

$$\tag{1}\begin{cases}X=rx\\Y=ry \end{cases} \ \ \iff \ \ \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

Entonces basta, (en el espíritu del libro de Serge Lang), utilizar la interpretación geométrica del determinante de la matriz de la transformación lineal $f$ que es $r^2$ , como:

$$\tag{2} \text{final area = initial area} \ \times \ r^2$$

$Edit:$ De hecho la fórmula (2) proviene de lo que podría considerarse como la "forma última" de la fórmula de cambio de variables :

$$\int 1_{f(A)} = \int 1_A \det(f).$$

donde $1_X$ es la función característica del conjunto (¡medible!) $A$ : $1$ en $A$ , cero en el resto).

Tenga en cuenta que $\det(f)$ aparece como el jacobiano de la transformación $f$ .