¿Son idénticas estas dos funciones?

Question

Supongamos que $f,g$ son funciones sobre $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface la siguiente propiedad:

Para todos los puntos $x \in \mathbb{R}$ y para todos $ h > 0$ el vecindario $(x-h,x+h)$ contiene puntos $c_{1},c_{2}$ tal que $|f(c_{1})-g(c_{2})|< h$ .

¿Es cierto que $f = g$ en todas partes en $\mathbb{R}$ ? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿contraejemplo?

Esta pregunta está motivada por la técnica utilizada por mi libro de texto para demostrar la simetría de las segundas derivadas para mapas dos veces diferenciables sobre $R^{n}$ . La respuesta a esta pregunta proporcionaría mucha información sobre la técnica.

Answer 1

Si asume que $f,g$ son ambas continuas, entonces sí: deben coincidir. A continuación se presenta una prueba:

arreglar cualquier $x \in \Bbb{R}$ . Desde $f,g$ son continuas en $x$ Tanto los límites $\lim_{t \to x} f(t)=f(x)$ y $\lim_{t \to x} g(t)=g(x)$ existe. Su condición implica que estos dos límites coinciden; de hecho, basta con demostrar que para todo $\varepsilon > 0$ $$|f(x)-g(x)| < 3 \varepsilon$$ Para demostrarlo, elija algunos $c_1,c_2$ tal que $|f(c_1)-g(c_2)| < \varepsilon$ y utilizar $$|f(x)-g(x)| \le |f(x)-f(c_1)|+|f((c_1)-g(c_2)|+|g(c_2)-g(c_2)| < 3 \varepsilon$$

Answer 2

El contrapositivo de esto dice que si $f \neq g$ , entonces hay $x\in \mathbb R$ y un $h > 0$ para que $(x-h, x+h)$ contiene un par de puntos $c_1, c_2$ para que $|f(c_1) - g(c_2)| > h$ . Dado que no requerimos que estos puntos sean diferentes, simplemente los tomaremos como iguales - sólo puedo imaginar que se pueden elegir puntos cercanos y hacer esencialmente lo mismo que lo que sigue si deben ser diferentes.

Supongamos que $f,g$ para ser continuos, su conjunto de coincidencia es cerrado, por lo que el conjunto en el que discrepan es abierto. Todo conjunto abierto en $\mathbb R$ es una colección de intervalos abiertos como máximo, así que elige uno de ellos y trabaja en ese conjunto. Ahora elige un punto de este intervalo, y calcula la diferencia allí de $f$ y $g$ . Entonces toma $h$ que sea lo suficientemente pequeño, como por ejemplo, la mitad de la diferencia. Como los puntos son iguales, obviamente se encuentran en el intervalo, pero su diferencia es mayor que el valor elegido para $h$ .