Cuestión principal variacional sobre funciones que tienen un mínimo en el origen bajo una restricción.

Question

Estoy repasando algunas tareas antiguas de hace un par de trimestres y me he encontrado con un problema de mi módulo de principios variacionales.

He mirado la función en la pista y me he dado cuenta de que para algunos puntos $f(x,y)<0$ pero $f(0,0)=0.$ Así que mi problema está en mi comprensión, particularmente en lo que se refiere a la "función obtenida al restringir $f(x,y)$ en una línea recta que pasa por el origen". ¿Significa esto que tomamos una línea que pasa por el origen en $\mathbb{R}^3$ o una línea en el $x y$ plano que pasa por el origen y considerar la función $g(x)=f(x,kx)$ para algunos $k\in{\mathbb{R}}$ . O si no se trata de ninguna de las dos cosas, ¿entonces qué? Está claro que la pista es sugerir un contraejemplo, pero esta función no es mínima en el origen cuando se restringe como se describe (a menos que mi comprensión de la restricción sea incorrecta, que es el caso más probable).

Answer 1

Recordemos la definición de restricción de una función, por ejemplo, de Wikipedia . Dejemos que $f$ sea una función de un conjunto $E$ a un conjunto $F$ . Si un conjunto $A$ es un subconjunto de $E$ entonces el restricción de $f$ a $A$ es la función $f|A:A\to F$ dado por $f|_A(x) = f(x)$ para (cada) $x$ en $A$ .

Es decir, tenemos que considerar la restricción de la función $f(x,y)$ en líneas rectas de su dominio $\Bbb R^2$ que pasa por el origen. Estas líneas rectas $A$ vienen dadas por una ecuación lineal $x=0$ o $y=kx$ para un verdadero $k$ . Si $A=\{(x,y):x=0\}$ entonces $f(x,y)|_A=y^4$ y esta función alcanza el mínimo global en $(0,0)$ . Si $A=\{(x,y):y=kx\}$ entonces $f(x,y)|_A=(x-k^2x^2)(2x-k^2x^2)=x^2(1-k^2x)(2-k^2x)$ . Así que $f(0,0)=0$ pero $f|A$ no siempre alcanza su mínimo en $(0,0)$ . Por ejemplo, para $k\ne 0$ y $x=\tfrac{3}{2k^2}$ tenemos $f(x,kx)<0$ .