Cómo demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{p_n}\right)^{p_n}=e$ ?

Question

Supongamos que $\{p_n\}$ es una secuencia positiva arbitraria que $\lim\limits_{n\to\infty} p_n=+\infty$ . Cómo demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{p_n}\right)^{p_n}=e$ ?

Answer 1

Escribe que $$\left(1+\frac{1}{p_n}\right)^{p_n}=e^{p_n\ln\left(1+\frac{1}{p_n}\right)}$$ Y $1/p_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow}0 \ $ así que $$\ln\left(1+\frac{1}{p_n}\right)=\frac{1}{p_n}+o\left(\frac{1}{p_n}\right)$$ Y finalmente

$$e^{p_n\ln\left(1+\frac{1}{p_n}\right)}=e^{1+o\left(1\right)}\underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow}e$$