Errores estándar de los MLEs

Question

¿Puede alguien decirme cómo encontrar valores numéricos para los errores estándar de las MLEs de la distribución Weibull utilizando el conjunto de datos reales no censurados sobre la tensión de rotura de las fibras de carbono (en Gba) reportado por Cordeiro GM, Lemonte AJ. The -Birnbaum-Saunders distribution: an improved distribution for fatigue life modeling. Comput. Stat. Data Anal. 2011; 55: 1445-1461.

Los datos son (n = 66):

3.70, 2.74, 2.73, 2.50, 3.60, 3.11, 3.27, 2.87, 1.47, 3.11, 3.56, 4.42, 2.41, 3.19, 
3.22, 1.69, 3.28, 3.09, 1.87, 3.15, 4.90, 1.57, 2.67, 2.93, 3.22, 3.39, 2.81, 4.20, 
3.33, 2.55, 3.31, 3.31, 2.85, 1.25, 4.38, 1.84, 0.39, 3.68, 2.48, 0.85, 1.61, 2.79, 
4.70, 2.03, 1.89, 2.88, 2.82, 2.05, 3.65, 3.75, 2.43, 2.95, 2.97, 3.39, 2.96, 2.35, 
2.55, 2.59, 2.03, 1.61, 2.12, 3.15, 1.08, 2.56, 1.80, 2.53

Utilizo Mathematica, así que por favor, dale una respuesta a los usuarios de Mathematica.

Answer 1

La forma normal de calcular el error estándar de un MLE es utilizando el Información sobre Fisher (que no es más que la segunda derivada de la función log-verosimilitud, evaluada en el lugar del MLE). Debido a las propiedades de la máxima verosimilitud, la varianza de la MLE viene dada por una distribución normal centrada en el valor de la MLE pero con una varianza igual a la información inversa de Fisher. Para distribuciones simples, esto puede calcularse analíticamente, y entonces simplemente se aplica la fórmula (que dependerá de su MLE y sus datos).

Una alternativa sencilla y bastante fiable es utilizar el bootstrap para estimar la distribución en torno al MLE y luego calcular el error estándar de esa manera. Sea $x_i\in X$ sea un elemento de su conjunto de datos, y que $n$ sea el número de observaciones en $X$ . Un bootstrap de sus datos sería un $Y$ de manera que cada $y_j$ para $1\leq j \leq n$ es un elemento de $X$ extraído uniformemente al azar de $X$ . En otras palabras, $Y$ contiene $n$ valores extraídos de $X$ con sustitución. Tenga en cuenta que mientras $X$ es fijo, $Y$ es una variable aleatoria.

Dejemos que $\hat{\theta}(X)$ sea su MLE en sus datos originales. Entonces, $\hat{\theta}(Y)$ es el MLE en un bootstrap de sus datos. Y, $\Pr(\hat{\theta}(Y))$ es la distribución del MLE bajo el bootstrap. A partir de ahí, puede calcular la varianza, la desviación estándar y, por tanto, el error estándar de su MLE, que será asintóticamente cercano a lo que calcularía utilizando la información de Fisher. Este enfoque es atractivo porque funciona incluso cuando no se puede calcular la información de Fisher para un modelo particular de forma analítica.

Si ya tienes un código que calcula $\hat{\theta}(X)$ entonces debería ser bastante sencillo escribir el código para la estimación de arranque que necesita.