Hacer todos los colectores tienen un densamente definido gráfico?

Question

Deje $M$ ser un suave conectado el colector. Siempre es posible encontrar la conexión de un denso abierto subconjunto $U$ $M$ que es diffeomorphic a un subconjunto abierto de R$^n$?

Si no exigimos $U$ a estar conectado, la respuesta es sí: es suficiente para la construcción de una contables de la colección de abiertos disjuntos "cuñados", cuya unión es densa, y esto no es terriblemente difícil.

Answer 1

Si el colector es compacto, la respuesta es sí. El geométrica idea es poner un pequeño globo en el múltiple de admisión, y para inflarlo. Desde el colector es compacto, que finalmente llene el colector, por lo que está a la izquierda con el interior del globo (open de bola) con identificaciones en el límite, por lo que es denso.

Usted puede hacer este preciso poniendo una métrica de Riemann en el colector y el uso de la Hopf-Rinow Teorema.

La relación entre mi respuesta y Jason comentario sería tomar un identificador de la descomposición de las múltiples y a considerar la posibilidad de un máximo de árbol en el dual 1-esqueleto como dar un "árbol de la pelota".

edit: responder a Qiaochu del comentario, creo que la respuesta es afirmativa para una conexión, no compacta colectores, así. La técnica de la prueba tiene que ser adaptado algunos. Paso 1: construir un adecuado Morse de la función en $M$, es decir, una función de Morse $f : M \to [0,\infty)$ que sólo tiene un mínimo local -- que es el mínimo global, $0$, y la demanda que $f^{-1}[0,c]$ está conectado y compacto para todas las $c\geq 0$. Paso 2: crear las tablas en la $f^{-1}[c_i,c_{i+1}]$ donde $c_1<c_2<\cdots$ es un aumento de la secuencia de $\lim_{n\to\infty} c_n =\infty$ que son regulares los valores de $f$. Paso 3: pegue los gráficos juntos a lo largo de poco arcos conectados entre sí, de a pares.

Answer 2

Dependiendo de lo que considere la posibilidad de un colector, el largo de la línea puede ser un contraejemplo.

Y para un no-conectado el colector, sin duda, la respuesta es no? Tome su favorito suave colector, y tomar un discontinuo de la unión de más de $\mathfrak{c}$ copias de la misma. De nuevo, a menos que su definición de "colector" reglas de este (por el supuesto de separabilidad, etc).