Acabamos de empezar un nuevo tema sobre la oscilación y el movimiento armónico simple. Me cuesta bastante entender cuál es el propósito de la constante de fase que aparece en el argumento de la función coseno. Leyendo en internet, he encontrado que tiene algo que ver con el desplazamiento de la gráfica, o con la posición de la oscilación en $t=0$ .
Respuestas
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Podemos caracterizar el movimiento armónico con $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ para el desplazamiento $x,$ amplitud $A,$ frecuencia angular $\omega$ y la constante de fase $\phi$ .
En $t=0$ cuando se inicia la oscilación, obtenemos $x(0) = A\cos(\phi)$ . Si $\phi = 0$ entonces simplemente obtenemos $x(0) = A.$ Al igual que en el movimiento comienza en la amplitud máxima.
Sin embargo, si tenemos el movimiento comenzando en el centro de oscilación, con alguna velocidad negativa que significaría $x(0) = 0.$ Esto significa que $\cos(\phi) = 0$ y así $\phi = \pi/2$ (o $3\pi/2$ Pero piense en lo que eso significaría para la velocidad).
Esencialmente la constante de fase $\phi$ determina la posición inicial de la oscilación, en $t=0.$ Como $\phi$ va de $0$ a $2\pi$ la posición inicial va de $A$ a $-A$ y de vuelta a $A$ como el coseno de la fase.
Anand
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Me gustaría añadir algunos comentarios más generales a la perfecta respuesta de Nuclear_Wizard.
Digamos que tu oscilador armónico se caracteriza por la ecuación
$$m\ddot{x}+kx=0$$
En esta ecuación se puede ver que es invariante de traslación en el tiempo lo que significa que no cambia si se desplaza el tiempo de $t$ a $t'=t+\tau$ . Esto expresa el hecho de que el movimiento de un oscilador armónico es independiente del "tiempo absoluto", es decir, no importa si se hace funcionar el oscilador hoy, mañana o dentro de una semana, el movimiento será siempre el mismo y estará dado por la ecuación anterior.
Ahora, mirando la solución general para esta ecuación diferencial:
$$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)=A\cos\left(\omega (t+\frac{\phi}{\omega})\right),$$ donde $x$ es el desplazamiento, $A$ es la amplitud, $\omega=\sqrt{k/m}$ la frecuencia angular y $\phi$ la fase. Esta invariancia de traslación temporal reaparece aquí en forma de una constante arbitraria $\phi$ que actúa como un desplazamiento arbitrario en el tiempo (por $\phi/\omega$ ).
Matemáticamente, la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden viene dada hasta dos constantes (en este caso $\phi$ y $A$ ).
Para describir un oscilador concreto (experimento) se suele especificar su posición $x$ y la velocidad $\dot{x}$ en algún momento, por ejemplo, en $t=0$ (son posibles otras combinaciones, por ejemplo, la posición en $t=0$ y $t=1~\mathrm{min}$ ,...). Técnicamente esto se llama un problema de valor inicial para la EDO del oscilador. Estas condiciones fijarán la fase $\phi$ y la amplitud, $A$ .
Tenga en cuenta que esto no se limita al movimiento de un oscilador. Por ejemplo, para la caída libre con aceleración gravitatoria $g$ : $$\ddot{y}=-g$$ tienes la solución general: $$y=-\frac{gt^2}{2}+v_0 t+y_0,$$ Puedes reescribir esta ecuación como $$y=-g\left(t-\frac{v_0}{2g}\right)^2+y_0+\frac{v_0^2}{4g}$$ Al igual que en el caso del oscilador, tienes el tiempo desplazado por una constante arbitraria. Las condiciones de frontera o iniciales fijarán sus constantes de tal manera que $v_0$ es la velocidad inicial en $t=0$ y $y_0$ es la altura inicial en $t=0$ .
Sin embargo, el término fase es específico del movimiento oscilatorio. No se llamaría "fase" a las constantes de la caída libre.
