Encuentra los valores de b para los que la recta $y=3x+b$ se cruza con el círculo $x^{2}+y^{2}=4$

Question

No sé cómo abordar esta cuestión. Lo primero que pensé fue en dibujar la línea y el círculo juntos, pero eso no aclara mucho cómo encontrar b. Resolver ambas ecuaciones para y e igualarlas también llega a la coclusión equivocada.

Edición: La respuesta correcta a esta pregunta es $b \leq 2\sqrt{10}$ . Todo consiste en llegar a este resultado y comprenderlo realmente.

Answer 1

Sugerencia: Enchufe $y=3x+b$ en la otra ecuación. Obtendrás una ecuación cuadrática con respecto a $x$ . Cuando las dos gráficas se cruzan, la ecuación cuadrática tendría soluciones reales.

Answer 2

Geométricamente, se quiere encontrar el valor de $3a$ en la siguiente imagen:

Ahora, utilizando triángulos semejantes y el Teorema de Pitágoras, tenemos $$3=\frac{2}{\sqrt{a^2-4}}\Longrightarrow 3a=\pm 2\sqrt{10}.$$

El valor de $b$ por lo tanto debe estar en el intervalo $[-2\sqrt{10},2\sqrt{10}].$

Answer 3

Para encontrar un punto de intersección, podemos sustituir una ecuación por la otra; en este caso obtenemos $$4 = x^2 + (3x+b)^2 = 10x^2 + 6bx + b^2 .$$ Se trata de una ecuación en $x$ y en $b$ , por lo que podríamos utilizar la fórmula cuadrática para resolver cualquiera de los dos. Los valores "incorrectos" de $b$ se producirá cuando haya una raíz cuadrada negativa en la fórmula cuadrática, lo que probablemente sea más fácil de ver si resolvemos para $x$ (porque entonces el $b$ estará bajo la raíz): $$x = \frac{-6b\pm\sqrt{36b^2-40(b^2-4)}}{20}$$ por lo que necesitamos $36b^2-40b^2+160 = -4b^2 + 160$ sea no negativo, es decir $|b| \leq \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ .