Sistema complicado de ecuaciones con logaritmos

Question

Estoy intentando resolver este sistema de ecuaciones. Conozco la respuesta, pero tengo problemas para resolverla. Necesito encontrar $x$ , $y$ y $z$ en términos de $a$ , $b$ y $c$ . El sistema de ecuaciones se muestra a continuación: $$\begin{align} n&=\log a+p+\log z\\ n&=\log b+\log y+q\\ n&=\log x+\log c+r\\ n&=\log a+\log b+\log x\\ n&=p+\log y+\log c\\ n&=\log z+q+r\\ n&=\log a+\log y+r\\ n&=\log x+\log y+\log z \end{align}$$ Lo sé: $$\begin{align} x&=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\\ y&=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\\ z&=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \end{align}$$

Agradecería que me ayudaran a trabajar.

P.D. Gracias a @Haris Gusic por editar el LaTeX por mí,

SÓLO PARA ACLARAR: Sé que he proporcionado la respuesta estoy buscando un método para llegar a la respuesta ya que simplemente utilicé una calculadora para encontrarla pero me gustaría saber cómo hacer a través de un trabajo completo.

Answer 1

Es más sencillo deshacerse de los términos no logarítmicos mediante la asignación de $n\mapsto\log n$ y de forma similar para $p,q,r$ obteniendo: $$\begin{align} n&=apz\tag1\\ n&=byq\tag2\\ n&=xcr\tag3\\ n&=abx\tag4\\ n&=pyc\tag5\\ n&=zqr\tag6\\ n&=ayr\tag7\\ n&=xyz\tag8\\ \end{align}$$ donde se supone que todos los números son positivos.

(2)+(5)+(7): $$bq=pc=ar=\frac ny.\tag9$$

(9)+(1): $$n=az\frac n{yc}\implies z=\frac ca y\tag{10}$$

(9)+(3): $$n=xc\frac n{ya}\implies x=\frac ac y\tag{11}$$

(10)+(11)+(8): $$n=y^3\tag{12}$$

Sustituyendo los valores de $x$ y $n$ de (11) y (12) en (4) se obtiene: $$y^2=a^2\frac bc\tag{13}$$ y finalmente combinando (10), (11) y (13): $$x=a^2b^\frac12c^{-\frac32},\quad y=ab^\frac12c^{-\frac12},\quad z=b^\frac12c^{\frac12}.$$

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Obsérvese que la sustitución de la ecuación (4) por una similar $n=abz$ se obtendría $x=y=z=a^\frac12b^{\frac12}$ de acuerdo con la afirmación de OP. Esto sugiere que hay un error de imprenta en al menos una de las ecuaciones originales.

Answer 2

$$\begin{align} n&=\log a+p+\log z \tag{1}\label{1} \\ n&=\log b+\log y+q \tag{2}\label{2} \\ n&=\log x+\log c+r \tag{3}\label{3} \\ n&=\log a+\log b+\log x \tag{4}\label{4} \\ n&=p+\log y+\log c \tag{5}\label{5} \\ n&=\log z+q+r \tag{6}\label{6} \\ n&=\log a+\log y+r \tag{7}\label{7} \\ n&=\log x+\log y+\log z \tag{8}\label{8} . \end{align}$$

Si cambiamos el nombre de todos los términos de la forma $\log v$ como un nuevo parámetro $v'$ , obtendremos un sistema de ocho ecuaciones lineales con diez parámetros, $a',b',c',p,q,r,x',y',z',n$ .

Podemos reordenar todas estas ecuaciones
para moverse $a',b'$ a la derecha (suponiendo que $c'$ como desconocido por el momento) y obtener el sistema $\mathbf{S_8}$ en forma de matriz

$$\begin{align} \mathbf{A_8}\cdot\mathbf{X_8}&=\mathbf{B_8} , \end{align}$$

donde \begin{align} \mathbf{A_8}&= $$\begin{bmatrix} 0& 0& -1& 1& -1& 0& 0& 0 \\ 0& -1& 0& 1& 0& -1& 0& 0 \\ -1& 0& 0& 1& 0& 0& -1& -1 \\ -1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0 \\ 0& -1& 0& 1& -1& 0& 0& -1 \\ 0& 0& -1& 1& 0& -1& -1& 0 \\ 0& -1& 0& 1& 0& 0& -1& 0 \\ -1& -1& -1& 1& 0& 0& 0& 0 \end{bmatrix}$$ ,\\ |X_8}&= $$\begin{bmatrix} x'& y'& z'& n& p& q& r& c' \end{bmatrix}$$ ^{\mathsf{T}} ,\\ |B_8}&= $$\begin{bmatrix} a'& b'& 0& a'+b'& 0& 0& a'& 0 \end{bmatrix}$$ ^{\mathsf{T}} . \Fin

Podemos ver que \eqref {3} es una combinación lineal combinación lineal de la otra:

$$\begin{align} \eqref{3}&= \eqref{5}+\eqref{6}+ \eqref{4}-\eqref{1}-\eqref{2} , \end{align}$$ por lo tanto, \eqref {3} puede ser ignorado.

Además, restando \eqref {3} de \eqref {4}, podemos expresar $r$ en términos de $a',b',c'$ : $$\begin{align} r&=a'+b'-c' , \end{align}$$

por lo que podemos construir un sistema lineal más sencillo $\mathbf{S_7}$ :

\begin{align} \mathbf{A_7}&= $$\begin{bmatrix} 0& 0& -1& 1& -1& 0& 0 \\ 0& -1& 0& 1& 0& -1& 0 \\ -1& 0& 0& 1& 0& 0& 0 \\ 0& -1& 0& 1& -1& 0& -1 \\ 0& 0& -1& 1& 0& -1& 1 \\ 0& -1& 0& 1& 0& 0& 1 \\ -1& -1& -1& 1& 0& 0& 0 \end{bmatrix}$$ ,\\ \mathbf{X_7}&= $$\begin{bmatrix} x'& y'& z'& n& p& q& c' \end{bmatrix}$$ ^{\mathsf{T}} ,\\ |B_7}&= $$\begin{bmatrix} a'& b'& a'+b'& 0& a'+b'& 2a'+b'& 0 \end{bmatrix}$$ ^{\mathsf{T}} . \Fin

De las filas 6 y 2 del nuevo sistema, concluimos que $$\begin{align} q&=2a'-c' . \end{align}$$

Además, de las filas 5 y 1, concluimos que $$\begin{align} p&=b'+q-c'=b'+2a'-2c' , \end{align}$$

y obtenemos un sistema $\mathbf{S_4}$ : \begin{align} $$\begin{bmatrix} 0& 0& 1& -1 \\ 0& 1& 0& -1 \\ 1& 0& 0& -1 \\ 1& 1& 1& -1 \end{bmatrix}$$ \cdot $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ n \end{bmatrix}$$ &= $$\begin{bmatrix} -3 a'-b'+2 c' \\ -2 a'-b'+c' \\ -a'-b' \\ 0 \end{bmatrix}$$ , \fin que es fácil de resolver y obtener

$$\begin{align} n &= 3 a'+\tfrac32 b'-\tfrac32 c' ,\\ x'&=2 a'+\tfrac12 b'-\tfrac32 c' ,\\ y'&=a'+\tfrac12 b'-\tfrac12 c' ,\\ z'&=\tfrac12 b'+\tfrac12 c' . \end{align}$$

Y por lo tanto

$$\begin{align} x&=\frac{a^2\sqrt{b}}{\sqrt{c^3}} ,\\ y&=\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt c} ,\\ z&=\sqrt{bc} ,\\ p&=\log\frac{a^2b}{c^2} ,\\ q&=\log\frac{a^2}c ,\\ r&=\log\frac{ab}c . \end{align}$$

Como era de esperar la sustitución de estos valores en las ecuaciones \eqref {1}- \eqref {8} da $$\begin{align} n&=3\log a+\tfrac32\log b-\tfrac32\log c \end{align}$$ para las ocho ecuaciones.

Answer 3

Considere el siguiente problema:

Problema (1) : Dado $n \in \mathbb{R}$ , determinar todas las matrices $A \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

1. la suma de elementos de cada fila de $A$ es $n$ ,
2. la suma de elementos de cada columna de $A$ es $n$ ,
3. la suma de elementos de cada diagonal de $A$ es $n$ .

Solución : $A \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ satisface las condiciones 1., 2., 3. si y sólo si es expresable como $$A = \begin{bmatrix} \frac{n}{3} + \epsilon_{0,0} & \frac{n}{3} - 2\epsilon_{0,0} - \epsilon_{1,0} & \frac{n}{3} + \epsilon_{0,0} + \epsilon_{1,0} \\ \frac{n}{3} + \epsilon_{1,0} & \frac{n}{3} & \frac{n}{3} - \epsilon_{1,0}\\ \frac{n}{3} - \epsilon_{0,0} - \epsilon_{1,0} & \frac{n}{3} +2 \epsilon_{0,0} + \epsilon_{1,0} & \frac{n}{3} - \epsilon_{0,0}\\ \end{bmatrix},$$ para $\epsilon_{0,0}$ y $\epsilon_{1,0} \in \mathbb{R}$ .

Mi solución al problema original utiliza el resultado anterior sobre la matriz $$A_0 = \begin{bmatrix} \log a & p & \log z\\ \log b & \log y & q\\ \log x & \log c & r\\ \end{bmatrix}.$$

Podemos expresar inmediatamente $x, y, z$ en términos de $a, b, n$ :

$$\log x - \frac{n}{3} = - \left(\log a - \frac{n}{3}\right) - \left(\log b - \frac{n}{3}\right) \iff \log x = n - \log ab \iff \boxed{x = \frac{e^{n}}{ab}},$$

$$\log y = \frac{n}{3} \iff \boxed{y = e^{\frac{n}{3}}},$$

$$\log z - \frac{n}{3} = - \left(\log x - \frac{n}{3}\right) \iff \log z = - \log x \iff \boxed{z = \frac{ab}{e^{\frac{n}{3}}}}.$$ Entonces, expresando también $c$ en términos de $a,b,n$ tenemos $$\log c - \frac{n}{3} = 2 \left(\log a - \frac{n}{3}\right) + \left(\log b - \frac{n}{3}\right) \iff \\ \iff \log c = -2\frac{n}{3} + \log a^2 b,$$ que podemos invertir para expresar $n$ en términos de $a,b,c$ : $$2\frac{n}{3} = \log \frac{a^2 b}{c}\iff\\ \iff \boxed{\frac{n}{3} = \log \left(\frac{a b^{\frac{1}{2}}}{c^{\frac{1}{2}}}\right)}.$$

Por último, sustituyendo $n$ en las ecuaciones anteriores obtenemos:

• $x =\displaystyle \frac{\left(a b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{2}}\right)^3}{ab} = a^2 b^{\frac{1}{2}} c^{-\frac{3}{2}} = \boxed{\displaystyle\frac{a^2 \sqrt{b}}{\sqrt{c^3}}}$ ,
• $y = \left(a b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{2}}\right) = a b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{2}} = \boxed{\displaystyle\frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{c}}}$ ,
• $z = \frac{ab}{\left(a b^{\frac{1}{2}}c^{-\frac{1}{2}}\right)} = b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} =\boxed{\displaystyle \sqrt{b}\sqrt{c}}$ .

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APÉNDICE

Prueba de la solución del problema (1)

Dada la matriz expresada en términos de $\epsilon_{0,0}$ y $\epsilon_{1,0}$ es sencillo ver que satisface las condiciones 1., 2., 3.. Ahora vamos a demostrar lo contrario.

Debemos determinar $9$ variables con $8$ ecuaciones, por lo que esperamos que el espacio de soluciones tenga dimensión al menos $1$ . Nótese, sin embargo, que la suma de los elementos de la tercera columna es igual a la suma de los elementos de las tres filas menos la suma de los elementos de las dos columnas, por lo que al menos una de las ocho ecuaciones es redundante; de ahí que el espacio de soluciones tenga dimensión al menos $2$ . Denote con $a_{i,j}$ el elemento de la $i$ -de la fila y $j$ -en la columna de $A$ . Tenga en cuenta que $a_{i,j} = n/3\ \forall i, \forall j$ es una solución. Por lo tanto, sin perder la generalidad, podemos fijar $n = 3$ y expresar cada elemento como $a_{i,j} = 1 + \epsilon_{i,j}$ . Ahora vamos a arreglar $\epsilon_{0,0}$ y demostrar lo siguiente

Lema : En el contexto anterior $\epsilon_{2,2} = -\epsilon_{0,0}$ .

Prueba : Lo tenemos: $$a_{1,0}+a_{2,0} = a_{1,1}+a_{2,2} = a_{0,1}+a_{0,2} = n - a_{0,0},$$ que en términos de épsilon se convierte: $$2+\epsilon_{1,0}+\epsilon_{2,0} = 2+\epsilon_{1,1}+\epsilon_{2,2} = 2+\epsilon_{0,1}+\epsilon_{0,2} = 2 - \epsilon_{0,0}\iff\\ \iff \epsilon_{1,0}+\epsilon_{2,0} = \epsilon_{1,1}+\epsilon_{2,2} = \epsilon_{0,1}+\epsilon_{0,2} = - \epsilon_{0,0}.$$ Entonces podemos determinar $a_{1,2}+a_{2,1}$ restando de la suma de todos los elementos, las parejas encontradas en el paso anterior: $$a_{1,2}+a_{2,1} = 9 - (a_{1,0}+a_{2,0}) - (a_{1,1}+a_{2,2}) - (a_{0,1}+a_{0,2}) - a_{0,0}\iff\\ \iff 2+\epsilon_{1,2}+\epsilon_{2,1} = 9 - (2 - \epsilon_{0,0}) - (2 - \epsilon_{0,0}) - (2 - \epsilon_{0,0}) - (1 + \epsilon_{0,0})\iff\\ \iff \epsilon_{1,2}+\epsilon_{2,1} = 2\epsilon_{0,0}.$$ Con consideraciones analógicas podemos deducir que $\epsilon_{0,1} +\epsilon_{1,0} = 2 \epsilon_{2,2}$ . Al restar los cinco elementos de las diagonales de la suma de todos los elementos tenemos tenemos: $$9-3 - (1+\epsilon_{0,0})- (1+\epsilon_{2,2}) = (2+\epsilon_{0,1} +\epsilon_{1,0}) + (2+\epsilon_{1,2}+\epsilon_{2,1})\iff\\ \iff- \epsilon_{0,0}- \epsilon_{2,2} = 2\epsilon_{0,0} + 2\epsilon_{2,2}\iff\\ \iff \epsilon_{2,2} = - \epsilon_{0,0}.$$

Inmediatamente después de la

Corolario : En el contexto anterior $\epsilon_{1,1} = 0$ .

Prueba :

$$a_{0,0} + a_{1,1}+a_{2,2} = 3 \iff \epsilon_{0,0} + \epsilon_{1,1}+\epsilon_{2,2} = 0 \iff\epsilon_{1,1} = -\epsilon_{0,0} - \epsilon_{2,2} =0.$$

Dado que esperamos que el espacio de soluciones tenga una dimensión de al menos $2$ podemos intentar fijar dos elementos de la matriz y deducir los demás.

$$\begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & 1 & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 + \epsilon_{0,0} & \cdot & \cdot \\ \cdot & 1 & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 + \epsilon_{0,0} & \cdot & \cdot \\ \cdot & 1 & \cdot\\ \cdot & \cdot & 1 - \epsilon_{0,0}\\ \end{bmatrix} \rightarrow\\ \rightarrow \begin{bmatrix} 1 + \epsilon_{0,0} & \cdot & \cdot \\ 1 + \epsilon_{1,0} & 1 & \cdot\\ \cdot & \cdot & 1 - \epsilon_{0,0}\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 + \epsilon_{0,0} & \cdot & \cdot \\ 1 + \epsilon_{1,0} & 1 & 1 - \epsilon_{1,0}\\ 1 - \epsilon_{0,0} -\epsilon_{1,0} & \cdot & 1 - \epsilon_{0,0}\\ \end{bmatrix} \rightarrow\\ \rightarrow \begin{bmatrix} 1 + \epsilon_{0,0} & 1 -2\epsilon_{0,0} -\epsilon_{1,0} & 1 + \epsilon_{0,0} +\epsilon_{1,0} \\ 1 + \epsilon_{1,0} & 1 & 1 - \epsilon_{1,0}\\ 1 - \epsilon_{0,0} -\epsilon_{1,0} & 1 +2\epsilon_{0,0} +\epsilon_{1,0} & 1 - \epsilon_{0,0}\\ \end{bmatrix}.$$ Como podemos ver en las deducciones anteriores, $2$ son suficientes para deducir todos los demás elementos.