Geometría aritmética a vista de pájaro

Question

¿Es cierto que la Geometría Aritmética puede separarse a grandes rasgos en dos áreas? 1) Mostrar que la motivación $L$ -son automórficas. 2) Calcular los valores especiales de estas $L$ -funciones.

Answer 1

No, creo que la dicotomía que sugieres pasa por alto demasiados resultados de vital importancia en la geometría aritmética. En particular, hay preguntas (y respuestas) puramente diofánticas que no se basan en ninguna consideración automórfica/motiva. Como punto de vista filosófico, se podría especular con que algunos de estos resultados acabarán teniendo interpretaciones automórficas, pero en muchos casos ni siquiera existe actualmente una relación conjetural.

Para poner un ejemplo concreto, me arriesgaré a afirmar que el mayor teorema de la geometría aritmética es la prueba de Faltings de la conjetura de Mordell-Lang (de manera informal, me gusta pensar en esto como el teorema de Faltings-Vojta-Faltings): si $A$ es una variedad abeliana sobre un campo numérico $k$ y $\Gamma \subset A(\overline{k})$ es un subgrupo tal que $\dim_{\mathbb{Q}} \Gamma \otimes \mathbb{Q} < \infty$ Entonces para cualquier subvariedad cerrada $X \subset A$ existe $n \in \mathbb{Z}^+$ , $\gamma_1,\ldots,\gamma_n \in \Gamma$ y subvariedades abelianas $B_1,\ldots,B_n$ de $A$ tal que

$\Gamma \cap X(\mathbb{C}) = \bigcup_{i=1}^n \gamma_i + (B_i(\mathbb{C}) \cap \Gamma)$ .

En particular, esto reduce el anterior teorema de finitud de Faltings (finitud de $k$ -puntos racionales en una curva $X$ de género al menos $2$ ) al teorema de Mordell-Weil y recupera la conjetura de Manin-Mumford (que una curva de género al menos $2$ incrustado en su Jacobiano sólo contiene un número finito de puntos de torsión).

Algunos buenos artículos sobre el tema son

http://www.math.jussieu.fr/~hindry/abvarmodel.pdf
http://www.msri.org/publications/books/Book39/files/mazur.pdf
http://www-math.mit.edu/~poonen/papers/mlb.pdf

(¡El último da un resultado mucho más general!)

Si alguien puede relacionar este resultado seminal con algo motivacional/automórfico, estaría muy interesado en saberlo.

Answer 2

No, porque existe el área llamada geometría diofantina, y la formulación supone que puede ser absorbida por la "teoría de campo de clase no abeliana" y la "teoría K algebraica". No sabemos que no pueda, si se toman las comillas de forma suficientemente amplia. Pero la teoría de que sí puede me parece uno de esos tratos matemáticos de "fusiones y adquisiciones" que quedan bien y a la moda sobre el papel, durante un tiempo. Sin embargo, si miras a esos tres sólo durante 30 segundos, puede que veas al viejo trío álgebra-análisis-geometría mirándote fijamente (teoría automórfica para el análisis, el enfoque geométrico de las ecuaciones es lo que tiene la geometría diofantina como toda su razón de ser). Y entonces puedes decidir que ya has visto esto antes.