Generé este polinomio después de jugar con la proporción áurea. Primero observé que (usando varias propiedades de $\phi$ ), $\phi^3+\phi^{-3}=4\phi-2$ . Esta ecuación no tiene ninguna importancia, sólo la menciono porque todo el problema surge de que me pregunto: ¿para qué otros números se cumple esta ecuación?
Las seis respuestas posibles son las raíces de $x^6-4x^4+2x^3+1=0$ . Tenga en cuenta que estoy no interesado en resolver para $x$ tanto como estoy interesado en un método que me permita factorizar completamente este polinomio en los factores de menor grado que todavía tienen coeficientes reales. Nótese que estoy tratando esta ecuación como si no tuviera idea de que la proporción áurea es una de las soluciones. En otras palabras, estoy tratando de factorizar esta ecuación como si nunca la hubiera visto antes, por lo que no puedo factorizar inmediatamente $(x^2-x-1)$ sin un proceso justificado, aunque sí es uno de los factores.
Primero observé que la ecuación se mantiene para $x=1$ Así que fui capaz de dividir $(x-1)$ para obtener la factorización de:
$$(x-1)(x^5+x^4-3x^3-x^2-x-1)$$
Intenté hacer una suposición de que el quíntico se reduce a un producto de $(x^3+Ax^2+Bx+C)(x^2+Dx+E)$ En el caso de la quíntica, el resultado fue un sistema de dos ecuaciones muy complejas que no tenía ni idea de cómo resolver. También intenté convertir los cinco primeros términos de la quíntica en un polinomio palindrómico y luego realizar el método estándar de factorización de polinomios palindrómicos, sin éxito.
O se me escapa algo, o no conozco un buen método que permita factorizar esta expresión. Espero que se me ilumine, gracias por cualquier ayuda.
