Cantidades en $\mathbb N^3$

Question

Suponga que $a_{n,m,k}\geq 0$ es una secuencia, $n,m,k\in \mathbb N$, de tal manera que $$\sum_{n,m,k\in \mathbb N} a_{n,m,k}^2 <\infty$$ es decir, en $\ell^2 (\mathbb N^3)$.

Quiero probar lo siguiente:

Podemos encontrar algunos de ruta(s) (en la cuadrícula de $\mathbb N^3$) de escapar a $\infty$, de tal manera que los pesos $a_{n,m,k}$ de los puntos de $(n,m,k)$ de el camino han finito suma. En otras palabras, estoy afirmando que nos encontramos con un camino de $\gamma $ en la cuadrícula $\mathbb N^3$ (con los bordes de agregado), de tal manera que $\gamma$ no permanecer en el interior de cualquier pelota, y tales que $$\sum_{a_{n,m,k}\in \gamma} a_{n,m,k} <+\infty$$

Por ejemplo, sería suficiente para demostrar que

• $\sum_{k} a_{n,m,k}<\infty $ fijos $n,m$ o
• $\sum_{m} a_{n,m,k}<\infty $ fijos $n,k$ o
• $\sum_{n} a_{n,m,k}<\infty $ fijos $m,k$

¿Cree usted que esa es una afirmación verdadera?

Esto no es posible por $\mathbb N^2$, ya que la secuencia de $a_{n,m}= \frac{1}{(n+m)\log(n+m)}$ proporciona un contraejemplo, es decir, que es la plaza de summable, pero fijo $n$ o $m$ de las sumas infinitas.

Answer 1

La pregunta que se hacen es relativa a la extremal longitudes de los gráficos. Más precisamente, Vértice extremal de la longitud de un localmente finito gráfico de $G$ a partir de un vértice $v$ $\infty$(VEL($v \to \infty$)) se define como $$ VEL(v \to \infty) = \sup_m \inf _{\gamma:v \to \infty} \frac{L_m(\gamma)}{Área(m)} $$ donde el supremum se toma sobre todas las funciones de $m$ a partir de los vértices de $G$ $\mathbb R$tal que $Area(m) := \sum_{v \in V(G)}m^2(v) < \infty$, $\gamma$ es un camino que comienza desde $v$ ir a $\infty$$L_\gamma = \sum_{v \in \gamma} m(v)$. Uno puede asimismo definir borde extremal longitudes (ANGUILA ($v \to \infty$)) mediante la sustitución de los vértices de las aristas en la descripción de arriba. Ver http://www.iecn.u-nancy.fr/~krikun/pub/fulltext.pdf para la descripción más detallada y referencias.

Teorema 2.6 en el enlace de arriba dice que en cualquier gráfica de la ANGUILA $(v \to \infty) < \infty$ si y sólo si un simple paseo aleatorio en el gráfico es recurrente. También para un almacén de grado gráfico, es fácil ver que la ANGUILA$(v \to \infty)<\infty $ es equivalente a decir VEL$(v \to \infty) < \infty$.

También es fácil ver que la finitud de VEL o la ANGUILA es independiente de la elección de $v$. La pregunta que se hacen es exactamente si $VEL((0,0,0) \to \infty) < \infty$ en el gráfico de $\mathbb N^3$. Es bien sabido que $\mathbb N^3$ es transitorio, por el simple paseo aleatorio, por lo tanto, usted siempre puede encontrar una ruta de acceso con una longitud finita. De hecho, usted puede encontrar los caminos para que cualquier $\mathbb N^d$ por la misma razón, si y sólo si $d \ge 3$.

También, usted puede encontrar el ejemplo contrario debido a $\mathbb N^2$ es recurrente.