Estaba pensando en un posible uso de la forma de volumen en un colector pseudo-riemanniano. En el contexto riemanniano podemos utilizarla para definir superficies mínimas. ¿Hay alguna interpretación física o geométrica en el contexto pseudo-riemanniano?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se puede definir la función de volumen para una variedad pseudo-riemanniana, y demostrar que una submanifolda no degenerada es un punto crítico de la función de volumen si y sólo si su vector de curvatura media desaparece, $H = 0$ . Sin embargo, se pierde la interpretación geométrica del caso riemanniano, es decir, que las superficies con $H=0$ minimizar localmente el volumen, con respecto a las variaciones manteniendo la frontera fija. Por ejemplo, en el espacio de Minkowski $\Bbb R^n_1$ En el caso de las hipersuperficies espaciales (es decir, las hipersuperficies para las que la restricción de la métrica lorentziana estándar es realmente riemanniana) se maximiza el volumen.
Dicho esto, se puede estudiar:
- ¿Qué ocurre con los submanifolds no degenerados con $H = 0$ La búsqueda de condiciones para cuando se maximiza o minimiza el volumen -- ver por ejemplo Submanifolds mínimos en geometría pseudo-riemanniana por Henri Anciaux.
- cuándo obtenemos algunos resultados similares a los de Calabi-Bernstein en el caso pseudo-riemanniano (hay algunos resultados al respecto en el espacio de Minkowski, por ejemplo. aquí .
- ¿Qué se puede decir sobre los submanifolds que satisfacen la condición puramente riemanniana más cercana a $H = 0$ : sólo tener $H$ sea un vector de tipo luz ( $H \neq 0$ pero $g(H,H)=0$ ). Tales submanifolds se llaman marginalmente atrapado y puede utilizarse para representar superficies de agujeros negros en algunos $4d$ modelos de espacio-tiempo, en física (ver libros de relatividad, por ejemplo Hawking & Ellis etc.).
