Teoremas de homomorfismo

Question

Cuando escuché conferencias sobre anillos o módulos (fue hace 2 años) estaban los teoremas de homomorfismo.
Dejemos que $A$ sea un anillo, $M$ y $N$ son módulos sobre A, $f: M\rightarrow N$ es un homomorfismo , $M_1$ y $M_2$ son submódulos de $M$ . Además, deja que $L\subset M \subset N$ sea el triple de módulos.
1) El primer teorema afirma que $M/Ker(f)$ es isomorfo a $f(M)\subset N$ .
2) El segundo establece que $\frac{M_1+M_2}{M_1}$ es isomorfo a $\frac{M_2}{M_1\cap M_2}$ .
3) La tercera afirma que $\frac{N/L}{M/L}$ es isomorfo a $N/M$ .

Conozco algunos enunciados en los que el primer teorema es extremadamente útil. ¿Podría darme ejemplos utilizando el segundo y el tercero? ¡Nunca lo he utilizado estudiando matemáticas!

Answer 1

Todas son generalizaciones de los mismos hechos en la teoría de grupos. Todo grupo abeliano es un $\mathbb{Z}$ -por lo que cualquier aplicación de la misma a la teoría de grupos abelianos debería ser una indicación de su utilidad.

Estos teoremas están presentes en toda la teoría de grupos. Algunos ejemplos de grupos abelianos que se me ocurren:

1. $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1$ debido al primer teorema de isomorfismo aplicado al homomorfismo $x \mapsto e^{2\pi i x}$
2. Si $n$ y $m$ son relativamente primos, entonces el único homomorfismo de $\mathbb{Z}/n \to \mathbb{Z}/m$ es el trivial.
3. Todos los cocientes de $\mathbb{Z}/n$ son descritas por el tercer teorema de isomorfismo.

La lista es literalmente interminable. Basta con coger un libro de álgebra abstracta y hojear la sección de teoremas de isomorfismo.