¿Cómo se define la acción de un campo vectorial sobre una función?

Question

Cuestiones de definición:

1) ¿Cómo podemos dar sentido a $X(f)$ con $X$ un campo vectorial en $M$ y $f$ una función suave en $M$ ?

Una idea que tengo es que no es realmente $X(f)$ donde aplicamos el campo vectorial en $f$ sino la derivación canónicamente asociada. Es decir $X(f)$ es la siguiente función $$ X(f):M\rightarrow \mathbb{R}:x\rightarrow X_x(f)$$

2) ¿Cómo podemos dar sentido a $Xg(Y,Z)$ donde $g$ es una métrica riemaniana y $X,Y,Z$ campos vectoriales.

Una idea es que $Xg(Y,Z)$ es la función definida como sigue $$ Xg(Y,Z):M\rightarrow \mathbb{R}:x\rightarrow X_x\cdot g_x(X_x,Y_x)$$

Answer 1

Puede que estés acostumbrado a pensar en un campo vectorial como un mapa de un barrio abierto $U$ de $M$ a $\mathbb{R}^n$ . Por ejemplo, si $M = \mathbb{R}^3$ (la configuración estadounidense "Calc III"), escribimos $$ \mathbf{F}(x,y,z) = P(x,y,z) \mathbf{i} + Q(x,y,z) \mathbf{j} + R(x,y,z) \mathbf{k} $$ En el entorno moderno, asociamos $\mathbf{i}$ a $\frac{\partial}{\partial x}$ , $\mathbf{j}$ a $\frac{\partial}{\partial y}$ y $\mathbf{k}$ a $\frac{\partial}{\partial z}$ . Así, el campo vectorial anterior se convierte en $$ X = P\frac{\partial}{\partial x} + Q\frac{\partial}{\partial y} + R\frac{\partial}{\partial z} $$ $X$ asigna funciones a funciones por $$ X(f) = P\frac{\partial f}{\partial x} + Q\frac{\partial f}{\partial y} + R\frac{\partial f}{\partial z} $$ y es una derivación por la regla del producto. En el plano de los puntos, es, como usted adivinó, $$ X(f)(x,y,z) = P(x,y,z) \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) + Q(x,y,z) \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) + R(x,y,z) \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) $$

Para su segunda pregunta, pasemos a $M = \mathbb{R}^n$ o, $U$ es un parche de coordenadas de $M$ con coordenadas $x^1, \dots, x^n$ . Entonces, dados tres campos vectoriales $X$ , $Y$ y $Z$ en $U$ podemos escribir \begin{align*} X &= P^i \frac{\partial}{\partial x^i} \\ Y &= Q^i \frac{\partial}{\partial x^i} \\ Z &= R^i \frac{\partial}{\partial x^i} \\ \end{align*} donde el $P$ 's, $Q$ y $R$ son funciones, y utilizamos la convención de suma de Einstein. También, $g$ puede descomponerse como $g_{ij} dx^i \,dx^j$ . Así que $$ g(Y,Z) = g_{ij} Q^i R^j $$ Se trata de una suma de productos de funciones. Si lo golpeamos con $X$ entonces, tenemos \begin{align*} Xg(Y,Z) &= P^k\frac{\partial}{\partial x^k}\left(g_{ij} Q^i R^j\right)\\ &= P^k\left(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}Q^i R^j + g_{ij} \frac{\partial Q^i}{\partial x^k} R^j + g_{ij} Q^i \frac{\partial R^j}{\partial x^k}\right) \end{align*}

No creo que sea válido pensar en $g$ evaluado en $x$ y luego emparejado con $Y_x$ y $Z_x$ y luego se actúa en función de $X_x$ . Porque, como se puede ver en lo anterior, los componentes de $g$ se diferencian. El orden adecuado es que el tensor $g$ se empareja con los campos vectoriales $Y$ y $Z$ , lo que da lugar a una función, sobre la que actúan $X$ .

Answer 2

Para responder a esto, la respuesta corta a ambas preguntas es sí. Un campo vectorial $X$ es una sección del haz tangente $TM$ En particular $X:M\to TM$ . Así que $X$ mapea puntos a vectores, y los vectores mapean funciones a números reales.

Así que cuando la gente dice $Xf$ En realidad quieren decir $\tilde X(f)$ donde $\tilde X$ se define implícitamente como sigue: $\tilde X: C^\infty(M)\to C^\infty(M)$ , $\, \tilde X(f)(p):=X(p)(f)$ .

La segunda pregunta se desprende fácilmente de esto.