Supongamos que tienes tres tipos de monedas, digamos: peniques, monedas de cinco centavos y monedas de diez centavos. Cada céntimo tiene una fecha única, y lo mismo ocurre con las monedas de cinco y diez centavos. (Un centavo y una moneda de cinco centavos pueden tener la misma fecha, etc.) ¿De cuántas maneras puedes alinear las monedas en orden de fecha por tipo? En otras palabras: ¿De cuántas formas puedes alinear las monedas de manera que, si miras dos monedas del mismo tipo, estén en el orden correcto por fecha? (No te importa si dos monedas de distinto tipo están desordenadas por fecha).
Las monedas son sólo un andamiaje, por supuesto. Y, estoy interesado en casos más generales, pero esto era lo suficientemente difícil como para justificar una pregunta en mi mente. Así que, una vez más:
Dado $3$ conjuntos, $A, B, C$ (con tallas $|A|,|B|,|C|$ respectivamente) cada uno con un orden total, pero sin orden "inter-conjunto", esto define un orden parcial en $A\cup B \cup C$ . ¿Cuántas permutaciones de los elementos de $A\cup B \cup C$ ¿respetar este orden parcial?
Porque en el caso de sólo dos conjuntos, digamos $C = \{\}$ La respuesta se ve fácilmente que es ${|A|+|B| \choose |A|}={|A|+|B| \choose |B|} $ . Pero no sé cómo generalizar esto a tres (o más) conjuntos. He escrito un código que puede calcular fácilmente estos recuentos para conjuntos pequeños, pero no puedo ver el patrón. ¡Ayuda!
Esto es una generalización de una pregunta que leí en este sitio y que ahora no puedo encontrar. Si la conoces o puedes encontrarla, por favor, enlázala. (esa pregunta se refería básicamente a dos tipos de artículos) Gracias.
