Supongamos que $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ son dos secuencias que convergen a números reales distintos $a$ y $b$ respectivamente. Hay que demostrar que $\{x_n\}\cap\{y_n\}$ contiene a lo sumo un número finito de elementos.
Mi enfoque:
Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\left|a\right|<\left|b\right|$ . Supongamos también que ${z_n}:=\{x_n\}\cap\{y_n\}$ es una secuencia convergente con infinitos elementos. Ahora, $0\leq\left|\max\{\{z_n\}\}\right|\leq \left|a\right|$ , $\forall n$ Por lo tanto $\exists c\in\mathbb{R}$ tal que $\left| c\right| \leq \left| a\right|$ , de tal manera que $\{z_n\}\to c$ . Desde $\{z_n\}\to c$ como $n\to \infty$ , $\forall \varepsilon_1 > 0$ , $\exists N_{\varepsilon_1} > 0$ , de tal manera que si $n>N_{\varepsilon_1}$ entonces $\left|z_n-c \right|<\varepsilon_1$ .
Desde $\{y_n\}\to b$ como $n\to \infty$ , $\forall \varepsilon_2 > 0$ , $\exists N_{\varepsilon_2} > 0$ , de tal manera que si $n>N_{\varepsilon_2}$ entonces $\left|y_n-b \right|<\varepsilon_2$ . Sea $\varepsilon := \max\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\}$ . Ahora elija $\varepsilon_1$ de tal manera que para $n>N_\varepsilon$ , $\left|\{x_n\}-\{y_n\}\right|<b-a+\varepsilon_1$ . Ahora tenemos que $\{z_n\}\to c$ y $\{y_n\}\to b$ . Pero esto implica que, para este $n$ , $\{x_n\}\cap\{y_n\}=\emptyset$ una contradicción. Por lo tanto, $z_n=\{x_n\}\cap\{y_n\}$ contiene a lo sumo un número finito de elementos.
Por favor, dígame si esta prueba está bien. Tal vez sea demasiado complicada, o tiene algunos errores?
