Por qué $Y=\{ f \in C^1([0,1]^n) : f(0)=0 \}$ es un subespacio cerrado de codimensión $1$

Question

Supongamos que $C^1([0,1]^n)$ es el conjunto de funciones de valor real definidas en $[0,1]^n$ cuya derivada $\leq 1$ es continua en $[0,1]^n$ .

Definir $$Y=\{ f \in C^1([0,1]^n) : f(0)=0 \}$$ Por qué $Y$ es un subespacio cerrado de codimensión $1$ ?

La pregunta está tomada de la prueba de Lema $15$ .

Answer 1

$Y$ es el núcleo del mapa suryectivo (y continuo)

$$C^1([0,1]^n) \to \mathbb R, f \mapsto f(0).$$

En particular, $Y$ es cerrado (como núcleo) y de codimensión $1$ (ya que $C^1([0,1]^n)/Y \cong \mathbb R$ es unidimensional).