Para cualquier espacio topológico de base $X, Y$ ¿se deduce que $X^+ \wedge Y^+ \cong (X \times Y)^+$ ?

Question

En otra respuesta dada aquí ( https://math.stackexchange.com/a/17968/266135 ) se afirma lo siguiente: "Existe un homeomorfismo natural $(X\times Y)^+ \cong X^+ \wedge Y^+$ para cualquier espacio $X$ y $Y$ "

Estoy asumiendo que el escritor de esa respuesta notationally significa que $(\cdot)^+$ es la compactación en un punto de un espacio topológico.

Sin embargo, la compactación de un punto sólo se define para espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos y, por tanto, en la categoría de espacios topológicos puntuales sólo se define para espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos.

En la respuesta dada anteriormente se dice que $(X\times Y)^+ \cong X^+ \wedge Y^+$ para cualquier espacios $X$ y $Y$ lo que supongo que significa cualquier espacio topológico de base. ¿Cómo es esto, dado que la compactación de un punto ni siquiera está definida para los espacios topológicos de base general?

Además, ¿qué es exactamente este homeomorfismo natural de $(X\times Y)^+ \cong X^+ \wedge Y^+$ ?

Answer 1

En la respuesta a ¿Por qué utilizamos el producto smash en la categoría de espacios topológicos de base? la notación $X^+$ definitivamente es la unión disjunta de $X$ y un espacio de un punto como se explica en el comentario de Tyrone. Las compactaciones de un punto sólo existen para espacios localmente compactos, por lo que esta interpretación no tendría sentido para un $X$ (como tú mismo has notado).

Sin embargo, en el caso de un compacto local $X$ denotamos por $X^\infty$ su compactación de un punto $X \cup \{ \infty \}$ que se da $\infty$ como punto base. Existe un mapa continuo canónico $u : X^\infty \times Y^\infty \to (X \times Y)^\infty$ que mapea $X \times Y \subset X^\infty \times Y^\infty$ a través de la identidad en $X \times Y \subset (X \times Y)^\infty$ y mapas $X^\infty \times \{ \infty \} \cup \{ \infty \} \times Y^\infty$ a $\{ \infty \}$ . Por lo tanto, induce una biyección continua $u' : X^\infty \wedge Y^\infty \to (X \times Y)^\infty$ en el espacio del cociente $X^\infty \wedge Y^\infty$ de $ X^\infty \times Y^\infty$ . Este espacio es comapcto, por lo tanto $u'$ es un homeomorfismo.