Estoy leyendo esta derivación del teorema de equiparación para los gases ideales. En la segunda página, se menciona que la función de partición como una simple suma,
$${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}}$$
no es adecuado para describir un gas clásico ya que la distribución de energías no es discreta, sino continua. En su lugar, se necesita una integral en la que
$$e^{-\varepsilon/kT}$$
se integra sobre las posiciones y los momentos de los que es función la energía. Pero, ¿por qué es correcta esta conversión de una suma a una integral?
Puedo entender por qué se necesita una integral, ya que la distribución de energías es continua. Pero, ¿por qué es correcto limitarse a integrar la función exponencial para obtener la suma? La integral no nos da el área bajo la curva de la función exponencial, es decir (hablando quizás sin rigor), la suma de los valores de la función en diferentes puntos, multiplicada por las diferenciales $dx$ ¿en lugar de la simple suma de los valores? También he visto este tipo de cosas en otros sitios y me molesta.