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Suma a una integral en la derivación del teorema de equipartición

Estoy leyendo esta derivación del teorema de equiparación para los gases ideales. En la segunda página, se menciona que la función de partición como una simple suma,

$${\displaystyle Z=\sum _{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}}$$

no es adecuado para describir un gas clásico ya que la distribución de energías no es discreta, sino continua. En su lugar, se necesita una integral en la que

$$e^{-\varepsilon/kT}$$

se integra sobre las posiciones y los momentos de los que es función la energía. Pero, ¿por qué es correcta esta conversión de una suma a una integral?

Puedo entender por qué se necesita una integral, ya que la distribución de energías es continua. Pero, ¿por qué es correcto limitarse a integrar la función exponencial para obtener la suma? La integral no nos da el área bajo la curva de la función exponencial, es decir (hablando quizás sin rigor), la suma de los valores de la función en diferentes puntos, multiplicada por las diferenciales $dx$ ¿en lugar de la simple suma de los valores? También he visto este tipo de cosas en otros sitios y me molesta.

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Febry Ghaisani Puntos 36

Siempre que una suma llegue a una integral en el límite continuo, hay que tener en cuenta la cuestión que plantea esta pregunta. En caso de duda, proceda en dos pasos, como se indica a continuación.

  1. Primero escriba la suma con un 'delta algo' explícito para significar el cambio en el índice que se está sumando. En el presente ejemplo:

\begin{equation} Z = \sum_i e^{-\epsilon_i/kT} \delta i \end{equation}

El valor de este $\delta i$ es 1 en esta suma.

  1. A continuación, sustituya $\delta i$ por el producto de una densidad de algo y un cambio en ese algo. En el presente ejemplo, hay que preguntarse "cuántos estados hay por unidad de rango de $x,y,z$ y $p_x, p_y, p_z$ ? La respuesta es un estado por volumen $h^3$ del espacio de fase. El valor $\delta i = 1$ representa el recuento en $Z$ aumentando en 1 estado, por lo que la relación es

\begin{equation} \delta i = \delta x \delta y \delta z \delta p_x \delta p_y \delta p_z / h^3 \end{equation}

que nos da

\begin{equation} Z = \sum_i e^{-\epsilon_i/kT} \delta x \delta y \delta z \delta p_x \delta p_y \delta p_z / h^3 \end{equation}

Ahora se puede tomar el límite continuo:

\begin{equation} Z = \int e^{-\epsilon_i/kT} dx dy dz\, dp_x dp_y dp_z / h^3 \end{equation}

donde el signo de la integral es una abreviatura de seis integrales en este ejemplo.

Eso es todo. Repito: este tema surge siempre que una suma pasa a una integral; no es una característica especial de la teoría cinética o de la mecánica estadística. Supongo que algunos autores de libros de texto simplemente lo asumen como un aspecto conocido de esta área de las matemáticas.

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Pero, ¿por qué es correcta esta conversión de una suma a una integral?

No hay conversión. La función de partición es definido como integral en la física estadística clásica, porque los estados posibles forman un conjunto continuo y es la definición más natural.

En la física estadística pseudocuántica (o cuántica antigua), "estado" en la función de partición significa algo diferente (una tupla de todos los números cuánticos que definen el estado cuántico preferido, como nx,ny,nz para el oscilador armónico 3D que define la función propia hamiltoniana, o los números de ocupación de todos los sitios de las partículas) y todos esos estados posibles forman un conjunto discreto, por lo que la definición más natural es una suma.

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