Demostrar que $\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^6}dx=\frac13\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

Question

Sé que debo utilizar el hecho de que $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ (era la pista que se daba en la pregunta), sin embargo, no sé cómo utilizarlo para poder obtener el resultado deseado. ¿Cómo se puede hacer esta pregunta?

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, estos son los pasos $$\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^6}dx$$ Dejemos que $u=x^3$ entonces $\frac13 du=x^2\ dx$ . Así que ahora $$\frac13 \int_{-\infty}^{\infty}e^{-au^2}du=\frac13 \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$