Esta es una pregunta muy interesante. Aunque no soy capaz de dar una respuesta completa, ni sé si existen investigaciones o resultados establecidos sobre este tema, esto es lo que pienso.
El flujo invisible incompresible se describe mediante la ecuación de Euler en lugar de la ecuación de Navier-Stokes. Según la Teoremas de Helmholtz En un fluido no viscoso no se pueden crear ni destruir vórtices. Es decir, si usted ha pensado en los vórtices de alguna manera dividir en otras más pequeñas, esto no parece ser posible, por lo que veo. Sin embargo, esto no excluye que incluso una sola línea de vórtices pueda enredarse más y más consigo misma (sin crear nudos, probablemente) durante la evolución del sistema. Si finalmente se enredara tanto que se extendiera por toda la caja, digamos que en un fractal o Curva de Peano como la moda, que sería su "estado térmico", supongo.
Esto nos lleva a la hipótesis ergódica . Un conjunto estadístico-mecánico en un espacio de fases de 6N dimensiones se comporta de forma muy parecida al flujo invisible incompresible de un fluido ordinario en 3 dimensiones. La hipótesis ergódica afirma que cualquier sistema del conjunto se acercará arbitrariamente a cualquier otro sistema si se espera lo suficiente. Supuestamente, y en términos coloquiales, el fluido del conjunto estadístico se agita naturalmente de forma tan completa que finalmente se mezcla perfectamente.
Según Las ecuaciones de Hamilton y Teorema de Liouville El conjunto representa un flujo incompresible (la divergencia de la velocidad del espacio de fase es nula, por lo tanto, la densidad del conjunto es constante a lo largo de las líneas de flujo, es decir, la derivada material de la densidad es nula, y sin embargo, la ecuación de continuidad se mantiene). Al igual que en el caso de los fluidos invisibles, la energía se conserva debido a Hamilton. Dado que los sistemas de muestras vecinas en el conjunto son estadísticamente independientes entre sí por definición, no pueden influirse mutuamente, y por eso creo que ésta es la analogía de la falta de viscosidad.
Dicho esto, sospecho que es difícil o imposible demostrar la termalización del fluido ordinario incompresible e invisible, de la misma manera que no ha sido posible aún demostrar la hipótesis ergódica de la mecánica estadística (hasta donde yo sé). Además, hay Teorema de recurrencia de Poincare que cualquier sistema puramente mecánico bajo ciertos supuestos razonables es casi periódico, lo que excluiría la ergodicidad.
Sin embargo, no sé si el teorema de Poincare es también válido para los sistemas continuos, en particular para el fluido invisible incompresible de tu pregunta. Mi intuición sobre la pintura de agitación me dice que no hay casi periodicidad, pero, de nuevo, esta intuición se ha construido en torno al flujo viscoso, por lo que podría no ser lo suficientemente general.
