Puede el curl de operador se pueden generalizar a que no es 3D?

Question

En tres dimensiones, la curvatura del operador $\newcommand{curl}{\operatorname{curl}}\curl = \vec\nabla\times$ cumple las ecuaciones

$$\curl^2 = \newcommand{grad}{\operatorname{grad}}\renewcommand{div}{\operatorname{div}}\grad\div-\Delta\\ \curl\grad = 0,\\ \div\curl = 0 $$

where $\Delta$ denotes the (vector) Laplacian $\nabla^2$. Since none of these equations requires the cross-product, which is only defined in three dimensions, can they be used to generalize the curl operator to an arbitrary $d$-espacio tridimensional?

Yo sé tomar la raíz de un operador no es exactamente una cosa graciosa, pero Dirac ha conseguido que antes, incluso si lleva a exigir anticommuting Grassman números y spinors...

Así que mis preguntas son:

• En el que las dimensiones de $d$ $\curl :=+\sqrt{\grad\div-\Delta}$ definida de forma única (por las limitaciones mencionadas anteriormente, o tal vez incluso de otras propiedades de la 3D $\curl$)?
• En cual de estas dimensiones hace este trabajo por simples números complejos sin necesidad de la introducción de spinors?
• Cómo calcularlo?
• Pregunta extra: el Uso de esta generalización la generalización de los productos cruzados

Nota para ms responden a: I declaró a los operadores \curl, \grad y \div por comodidad, se debe trabajar en todas partes, debajo de la pregunta.

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Como un ejemplo claro, observe $n=2$:

Alegando que $\curl = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, el uso de $\curl\grad=0$ $\div\curl=0$ obtener

$$\curl = \alpha\begin{pmatrix}\partial_y^2 & -\partial_x\partial_y \\ -\partial_x\partial_y & \partial_x^2\end{pmatrix}$$

the square of which is

$$\curl^2=\alpha^2\begin{pmatrix}\partial_y^2\Delta & -\partial_x\partial_y\Delta\\ -\partial_x\partial_y\Delta & \partial_x^2\Delta\end{pmatrix} \stackrel!= \begin{pmatrix}-\partial_y^2 & \partial_x\partial_y\\\partial_x\partial_y & -\partial_x^2\end{pmatrix} = \grad\div-\Delta$$

So $\alpha^2 \stackrel!= -\Delta^{-1}$ and formally

$$\curl = \begin{pmatrix}\partial_y^2 & -\partial_x\partial_y\\ -\partial_x\partial_y & \partial_x^2\end{pmatrix}\otimes(\sqrt{-\Delta})^{-1}$$

$\sqrt\Delta$ requires Spinors, as feared, and I assume they will arise for all even dimensions. One interesting question is, are usual vectors enough in the odd dimensional extension? But doing this manually with even just a $5\times5$ matriz sería un poco demasiado tedioso...

Answer 1

div grad, y curl secreto de las tres exteriores derivados en $\mathbb{R}^3$. Dicho de otra manera, son los tres trivial diferenciales en el complejo de de Rham

$$0 \to \Omega^0(\mathbb{R}^3) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(\mathbb{R}^3) \xrightarrow{d_1} \Omega^2(\mathbb{R}^3) \xrightarrow{d_2} \Omega^3(\mathbb{R}^3) \to 0$$

de $\mathbb{R}^3$. En particular, grad está secretamente $d_0$, la curvatura es secretamente $d_1$, y el div es secretamente $d_2$. Digo "en secreto" porque hay algunos adicionales gracioso negocio que va en la participación de la estrella de Hodge y el musical isomorphisms.

Así, en $n$ dimensiones no se $n$ generalizaciones de div grad, y curl $d_0, ... d_{n-1}$ que satisfacer $d_{i+1} \circ d_i = 0$ (de la definición de la ecuación de una cadena compleja).

Answer 2

En geometría álgebra y el cálculo, la cruz del producto y de la curvatura son generalizadas por la cuña de producto y exterior de derivados.

Vamos a empezar con la cruz del producto. Deje $u = a \times b$. Solemos decir $u$ es ortogonal tanto a $a$ $b$ o normal al plano generado por $a$$b$. El álgebra geométrica trabaja con ese avión, directamente, como "2-vector" o bivector que llamamos $a \wedge b$. Esto es algo que puede estar en cualquier número de dimensiones, a diferencia de la cruz del producto.

Calculamos el exterior derivado de un campo de $A$$\nabla \wedge A$, de la misma manera. Juntos, en el exterior de derivados con el interior derivado $\nabla \cdot A$ constituyen el completo, geométrico derivado $\nabla A$. Este operador tiene toda la información necesaria para reconstruir el original $A$ a través de la integración.

Por lo tanto, si uno sabe $\nabla A$$\nabla \cdot A$, entonces siempre se puede calcular la curvatura a través de $\nabla \wedge A = \nabla A - \nabla \cdot A$.

La relación con el Laplaciano: el exterior de derivados y en el interior derivado de obedecer a las siguientes relaciones en el espacio plano.

$$\nabla \wedge \nabla \wedge A = \nabla \cdot (\nabla \cdot A) = 0$$

De esta manera se sigue como una consecuencia de la igualdad de la mezcla de derivadas parciales. Esto significa que el Laplaciano puede ser escrita como

$$\nabla (\nabla A) = \nabla^2 A = \nabla \cdot (\nabla \wedge A) + \nabla \wedge (\nabla \cdot A)$$

Esto es cierto tanto para los escalares y vectoriales Laplaciano, aunque al $A$ es un campo escalar, $\nabla \cdot A = 0$ siempre. El punto debe ser interpretado como "el contratante" o "grado-bajar", y claramente no se puede reducir un escalar a algo de menor dimensión.

Edit: para construir a partir de lo que Qiaochu Yuan es decir, echemos un vistazo a los diversos campos en 3d para entender cómo esta teoría de la captura de la habitual de cálculo vectorial derivados. Deje $E$ ser un campo de vectores y $\varphi$ un campo escalar. Por lo general tenemos los siguientes derivados:

Divergencia: $\nabla \cdot E$

Gradiente: $\nabla \varphi$

Curl: $\nabla \times E$

La relación entre la curvatura y la cuña de derivados es a través de Hodge de la dualidad. Este es denotado por la multiplicación con un pseudoscalar, llamado $i$. $i$ convierte los vectores a los 2-vectores ("pseudovectors") y viceversa. Canónica de la relación entre la curvatura y este derivado es

$$\nabla \times E = -i \nabla \wedge E$$

$\nabla \wedge E$ es lo diferencial de las formas que la gente llama el rizo.

Lo interesante a destacar es cuando la derivada actúa en un 2-vector lugar. Vamos a permitir que un objeto se $B$:

$$\nabla \cdot B = \text{vector}, \quad \nabla \wedge B = \text{pseudoscalar (0d vector space)}$$

Esto último es lo que formas diferenciales de las personas tienden a llamar a la divergencia. Para mí, esto es engañoso: $\nabla \cdot E$ es igual igual a la divergencia.

Editar editar: usted menciona los números complejos. Vamos a hablar de ellos y spinors. Usted puede utilizar esta definición del vector derivado $\nabla$ y sus operaciones asociadas a trabajar en spinors también. En GA, spinors son sólo las combinaciones lineales de los escalares y los 2-vectores. Deje $\psi(z)$ ser un "spinor de campo", o una función de una variable compleja. Si $\psi = u + iv$ es holomorphic, entonces obedece a

$$\nabla \psi = \nabla u + (\nabla v) i = 0$$

Esto puede parecer un poco hacia atrás a partir de análisis complejo, pero esto es debido a que $\nabla$ puede ser identificado con $\partial/\partial \bar z$. El beneficio aquí es, por supuesto, que $\nabla$ es válido en todas las dimensiones. Usted no debe tener miedo de spinors. Son muy útiles, y podemos tratar de derivados de ellos en la misma forma en que tratamos a los campos de otros tipos. El spinors de 3d son cuaterniones, y su utilidad para el 3d de rotaciones es bien conocido.

Por último, vamos a calcular algunos derivados de algunos de los campos de ejemplo. Deje $\varphi$ ser un campo escalar, $E$ ser un campo de vectores, $B$ un bivector campo, y $\gamma$ un pseudoscalar campo. Deje $e_x, e_y, e_z$ ser la unidad cartesianas de los vectores. Deje $e_{zx} = e_z \wedge e_z$, y así sucesivamente. Deje $e^x$ ser la unidad de la cotangente del vector perpendicular al $yz$ plano. Tenga en cuenta que para coordenadas Cartesianas, esto es igual a $e_x$, pero de vectores derivados siempre dependen de estas formas, así que esto es más general. Un resumen rápido:

$$\begin{align*} \varphi &= \varphi(x, y, z) \\ E &= E^x(x, y, z) e_x + E^y e_y + E^z e_z \\ B &= B^{xy} e_{xy} + B^{yz} e_{yz} + B^{zx} e_{zx} \\ \gamma &= \gamma^{xyz}(x, y, z) e_{xyz} \end{align*}$$

Interior de derivados: $$\begin{align*} \nabla \cdot \varphi &= 0 \\ \nabla \cdot E &= \partial_x E^x + \partial_y E^y + \partial_z E^z \\ \nabla \cdot B &= (\partial_z B^{zx} - \partial_y B^{xy}) e_x + (\partial_x B^{xy} - \partial_z B^{yz}) e_y + (\partial_y B^{yz} - \partial_x B^{zx}) e_z \\ \nabla \cdot \gamma &= \partial_x \gamma^{xyz} e_{yz} + \partial_y \gamma^{xyz} e_{zx} + \partial_z \gamma^{xyz} e_{xy}\end{align*}$$

Exterior derivados de:

$$\begin{align*} \nabla \wedge \gamma &= 0 \\ \nabla \wedge B &=( \partial_x B^{yz} + \partial_y B^{zx}+ \partial_z B^{xy}) e_{xyz} \\ \nabla \wedge E &= (\partial_z E^y - \partial_y E^z) e_{yz} + (\partial_x E^z - \partial_z E^x) e_{zx} + (\partial_y E^x - \partial_x E^y) e_{xy} \\ \nabla \wedge \varphi &= \partial_x \varphi e^x + \partial_y \varphi e^y + \partial_z \varphi e^z\end{align*}$$

Edición de$^3$: vamos a hablar de Hodge de la dualidad. La unidad de pseudoscalar $i$ giros puntos a la cuña y las cuñas a los puntos. Esta es la verdadera fuera de la ecuación, también, en un estado generalizado: vamos a $b$ ser un vector. A continuación,$b \cdot b = b \wedge (bi) i^{-1}$. Esta es la forma en punto de los productos a menudo son calculados en formas diferenciales (yo personalmente creo que es indebidamente indirecta). La aplicación de este para el cálculo de los rendimientos de diversas relaciones. Deje $\varphi, E, B, \gamma$ definirse como antes.

$\nabla \cdot \gamma = [\nabla \wedge (\gamma i)] i^{-1}$: esto convierte el interior de la derivada de una pseudoscalar campo a un gradiente de un campo escalar, que luego se dualized de nuevo a un pseudoscalar. Esta es una forma tradicional de cálculo vectorial convierte de ida y vuelta entre escalares y pseudoscalars, evitando la diferencia entre los dos.

$\nabla \wedge B = [\nabla \cdot (Bi)] i^{-1}$: esto es, tradicionalmente, cómo las formas diferenciales de las huellas de la divergencia, considerando el exterior derivada de una 2-forma.

Edición de$^4$: puede ser que me breezed la derecha más allá de lo que es de interés aquí. Permítanme traducir un par de cosas para hacer evidente un punto más amplio.

$$\begin{align*} \text{Vector calculus:} &\curl \grad \psi = 0 \\ \text{Geometric calculus:} & \nabla \wedge \nabla \wedge \psi = 0 \end{align*}$$

Aquí, $\nabla \wedge \psi$ es el gradiente, y la segunda, $\nabla \wedge$ a la izquierda juega el papel de rizos.

$$\begin{align*} \text{Vector calculus:} &\div \curl E = 0 \\ \text{Geometric calculus:} & \nabla \wedge \nabla \wedge E = 0 \end{align*}$$

Por otro lado, aquí la divergencia y curl tanto para tomar en el sentido de $\nabla \wedge$. Esta es la razón por la diferencial de las formas le gusta llamarlos a todos los aspectos de la $\nabla \wedge$. Pero estas dos identidades de la divergencia, la curvatura, y el gradiente tiene exactamente la misma expresión en ambas formas diferenciales y cálculo geométrico.

De nuevo, recordando que $\nabla \wedge \nabla \wedge X = 0$ para cualquier tipo de $X$ es lo que nos permite escribir

$$\begin{align*} \text{Vector calculus:} &\curl \curl E = \grad \div E - \Delta E \\ \text{Geometric calculus:} & -\nabla \cdot (\nabla \wedge E) = \nabla \wedge (\nabla \cdot E) - \nabla^2 E\end{align*}$$

Este es un punto importante: la segunda aplicado curl termina de tomar el papel de $\nabla \cdot$ en la 2-forma $\nabla \wedge E$. Esta es la razón por la que, en última instancia, creo que su búsqueda de una generalizada curl específicamente puede ser algo confuso, de rizo, de la divergencia, y pendiente aún de tomar en salvajemente diferentes significados, dependiendo de lo que está actuando, mientras que $\nabla \wedge$ $\nabla \cdot$ han fijado significados geométricos de cálculo como la recaudación (por $\nabla \wedge$) o bajar ($\nabla \cdot$) de la dimensionalidad de los objetos que se diferencian. Es por esta razón que, en el cálculo geométrico, $\nabla \cdot$ se refiere a veces como la divergencia y $\nabla \wedge$ se conoce como el curl, pero esta flojo (pero útil) terminología no siempre coinciden con el cálculo vectorial. De nuevo, la razón por la que los significados de la divergencia, curl, y el gradiente de fluctuar en cálculo vectorial es debido a la utilización de Hodge dualidad para simplificar todos los objetos escalares y vectores.

Answer 3

Basado en Qiaochu del Yuan respuesta y Branimir Ćaćić comentarios, propongo las siguientes generalizaciones para $n\ge2$ dimensiones:

$$\begin{array}{rl} \grad &:= \sharp\circ d_0,\\ \div &:= \ast\circ d_{n-1}\circ\ast\circ\flat,\\ \curl^2 &:= \sharp\circ\ast\circ d_{n-2}\circ\ast\circ d_1\circ\flat \end{array}$$

utilizando el camino de $$\Gamma(\mathbb R^n)\xrightarrow{\flat}\Omega^1(\mathbb R^n)\xrightarrow{d_1}\Omega^2(\mathbb R^n)\xrightarrow{\ast}\Omega^{n-2}(\mathbb R^n)\xrightarrow{d_{n-2}}\Omega^{n-1}(\mathbb R^n)\xrightarrow{\ast}\Omega^1(\mathbb R^n)\xrightarrow{\sharp}\Gamma(\mathbb R^n)$$

Aún no estoy seguro de cómo expresar $\Delta$ y por lo tanto no se puede comprobar si $\curl^2=\grad\div-\Delta$. Desde $d_{i+1}\circ d_i = 0$, se obtiene $\curl^2\grad=0$$\div\curl^2=0$, la cual es necesaria (pero no suficiente) para los criterios de $\curl\grad=0$ $\div\curl=0$ a partir de la pregunta. Estos requieren

$$\curl = \sharp\circ\ast\circ d_{n-2}\circ A\circ d_1\circ\flat$$ para algunos $A$ que, mediante la comparación de $\curl^2$, debe obedecer $$A\circ d_1\circ\ast\circ d_{n-2}\circ A = \ast$$ o $$d_1\circ\ast\circ d_{n-2} = A^{-1}\circ\ast\circ A^{-1}.$$ Así, puede $A$ $d_1^{-1}$ $d_{n-2}^{-1}$ al mismo tiempo $n\neq3$?